Bijections

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
murray
Membre Naturel
Messages: 84
Enregistré le: 17 Mai 2006, 19:50

bijections

par murray » 29 Mai 2006, 14:41

bonjour,

Pouvez-vous trouver une bijection de R dans R². (et plus généralement, de R dans R^n)....
Ceci montre que R et ses puissances ont le même nombre d'éléments, ce qui est assez incroyable comme résultat.



abel
Membre Relatif
Messages: 258
Enregistré le: 17 Mar 2006, 19:59

par abel » 29 Mai 2006, 19:02

C'est possible ça ??? (ca voudrais dire que l'on peut repérer un point du plan avec 1 paramètre...hum....).

Amine.MASS
Membre Naturel
Messages: 65
Enregistré le: 26 Avr 2006, 21:07

par Amine.MASS » 29 Mai 2006, 19:14

Rain' a écrit:Dites moi si je me trompe mais R^n est un espace vectoriel de dimension n, R est un espace vectoriel de dimension 1 et une bijection respecte les dimensions.

Je vois mal comment tu as un exemple à proposer.

salut,
une bijection ne concerve les dim que si elle est linéaire :!: :!:

Amine.MASS
Membre Naturel
Messages: 65
Enregistré le: 26 Avr 2006, 21:07

par Amine.MASS » 29 Mai 2006, 20:08

abel a écrit:C'est possible ça ??? (ca voudrais dire que l'on peut repérer un point du plan avec 1 paramètre...hum....).

salut,
il y a des bijections entre et IR (et méme entre et IR) mais je ne pense pas qu'il y a une app usuel qui le vérifie
je me rappelle qu'on peut montrer l'existence de cette bijection par construction,mais bon je vais chercher

daiski
Membre Naturel
Messages: 45
Enregistré le: 27 Mai 2006, 13:50

par daiski » 29 Mai 2006, 21:12

déjà dans IN n on a IN^k est en bijection avec IN .pour IN^2 prenez f:IN^2 -> IN qui à (m,n) -> 2^m(2n+1) ou (x,y)-> (x+y)(x+y+1)/2 + x ce sont des bijections.
dans des ensembles infinis on ne peut pas raisonner de la meme manière qu'usuellement.

mln
Membre Relatif
Messages: 131
Enregistré le: 20 Avr 2006, 15:05

par mln » 29 Mai 2006, 21:24

Bonsoir,

il me semble que c'est Cantor qui a démontrer qu'il existe des bijections de R vers R^n.
(Un exemple de surjection de [0,1] dans [0,1]*[0,1], c'est les courbes de Peano.)


Preuve qu'il existe une bijection entre [0,1[*[0,1[ et [0,1[ :
Soit f:[0,1[*[0,1[->[0,1[
x = 0, x1 x2 x3 x4 ...
y = 0, y1 y2 y3 y4 ...
f(x,y) = 0, x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 ...
f est une injection de [0,1[*[0,1[ dans [0,1[ (f est pas bijective 0.0999...=0.1)

Soit g : [0,1[->[0,1[*[0,1[
g(x) = (x,x)
g est une injection de [0,1[ dans [0,1[*[0,1[

donc, d'après le théorème de Cantor Bernstein :
(si il existe une injection de A vers B et une injection de B vers A alors il existe une bijection de A vers B)
donc il existe une bijection entre [0,1[ et [0,1[*[0,1[

Comme il existe une bijection entre [0,1[ et R...
Donc il existe une bijection entre R et R²
(On peut faire la meme chose avec R^n)
Voili, voilou

Alpha
Membre Complexe
Messages: 2176
Enregistré le: 21 Mai 2005, 13:00

par Alpha » 29 Mai 2006, 23:13

Oui, par exemple il y a une bijection entre [0,1] et [0,1]², on le voit par exemple en prenant un carré de 1 de côté, chaque point dans l'intérieur du carré peut être codé par un nombre unique dépendant de son abscisse et de son ordonnée, par exemple dans la base 10, si l'abscisse est 0,x1x2x3x4..., l'ordonnée 0,y1y2y3y4..., on peut associer à ce point le nombre 0,x1y1x2y2x3y3x4y4..., et il s'agit bien là d'une bijection. (je viens de me rendre compte que c'est ce que dit mln, mea culpa)

Amine.MASS
Membre Naturel
Messages: 65
Enregistré le: 26 Avr 2006, 21:07

par Amine.MASS » 29 Mai 2006, 23:25

Alpha a écrit:Oui, par exemple il y a une bijection entre [0,1] et [0,1]²
dans la base 10, si l'abscisse est 0,x1x2x3x4..., l'ordonnée 0,y1y2y3y4..., on peut associer à ce point le nombre 0,x1y1x2y2x3y3x4y4..., et il s'agit bien là d'une bijection. (je viens de me rendre compte que c'est ce que dit mln, mea culpa)

ce n'est pas une bijection :!: c'est injection comme a di mln

mln
Membre Relatif
Messages: 131
Enregistré le: 20 Avr 2006, 15:05

par mln » 29 Mai 2006, 23:29

elle n'est pas surjective :
0.1292929292929... n'a pas d'antécédent par exemple :
f(0.19999...,0.22222...) = f(0.2,0.22222...) = 0.220202020...

daiski
Membre Naturel
Messages: 45
Enregistré le: 27 Mai 2006, 13:50

par daiski » 30 Mai 2006, 00:33

le théorème de Cantor a deux hypothèses fondamentales en voilà l'énonçé :
Théorème de Cantor-Bernstein
Théorème
S'il existe une injection i d'un ensemble E vers un ensemble F et une injection j de F vers E, alors il existe une bijection f de E sur F.

et une petite preuve pour les intéressés :
http://spoirier.lautre.net/cant-bern.html

mln
Membre Relatif
Messages: 131
Enregistré le: 20 Avr 2006, 15:05

par mln » 30 Mai 2006, 14:34

Je rajoute quelques résultats sur les cardinaux d'ensembles infinis pour ceux que ca intéresse:

Card(A)<=Card(B) si et seulement si il existe une injection de A vers B. (théorème de Cantor)

Card(N) = Card(N\{un nombre fini d'élément})= Card( N^n ) = Card( Z^n' ) = Card( Q ) = Card( Q\N ) = Card( Q^n'' ) (ensembles dénombrables)

Card( R ) = card( (a,b) ) = Card(R\Q) = card( R^n ) =card( C ) = card( C\R ) = Card( C^n' )
= Card(P( N )) = 2^(Card( N )) (ensembles indénombrables).

abel
Membre Relatif
Messages: 258
Enregistré le: 17 Mar 2006, 19:59

par abel » 02 Juin 2006, 12:23

En raisonnant comme un physicien ( ce qui n'est certes pas vraiment rigoureux), comment peut on repérer un point juste par un paramètre ??? Sinon on se ferait pas chier dans les systemes de coordonnées, on ne prendrait qu'une donnée et par exemple en mécanique ca veut dire que l'on peut caractériser tout mvt avec une variable ???...Ca me parait tordu tout ça...(Mais bon, s'il y a une preuve alors...)

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 9 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite