Arithm.

[conane]

peut_on placer 1975 points sur le cercle unité dont les distances deux à deux sont toutes rationneles? :marteau:

[buzard]

Si tu utilise la distance angulaire y'a aucun souci! :)
Par contre pour la distance euclidienne c'est pas du gateau.

[Quidam]

peut_on placer 1975 points sur le cercle unité dont les distances deux à deux sont toutes rationneles? :marteau:

On sait que toutes les solutions en nombres entiers de l'équation x²+y²=z² sont données par :

x=a²-b², y=2ab et z=a²+b²
avec a et b entiers quelconques (a>=b)
et il y en a une infinité.

Je considère un demi-cercle de centre O et de rayon 1, limité par les points A et B. et je définis 1975 point différents en choisissant autant de couples (a,b) que nécessaire (il y a, on le sait plusieurs couples (a,b) possibles pour un triplet (x,y,z) donné, mais comme il y a une infinité de solutions ce n'est pas un problème).

A chaque triplet (x,y,z) ainsi formé j'associe le point M du demi-cercle situé à la distance 2x/z de A et 2y/z de B. Je dis que les sinus, cosinus et tangente des angles MAB et MBA sont rationnels.

Considérons alors deux tels points M1 et M2. Le sinus de M1AM2, par exemple est forcément rationnel, puisque sin(p-q)=sin p*cos q - sin q * cos p. La distance entre M1 et M2 est égale à 2*sin(M1OM2/2), c'est-à-dire 2*sin(M1AM2), qui est rationnel !

Ainsi les distances deux à deux de ces points sont toutes rationnelles.

Ai-je bon ?

[aviateurpilot]

tu n'as pas montrer que le nombre des points M associé au triplet (x,y,z)
sont >=1975 :briques:

car le fait que les triplets (x,y,z) sont infinie n'implique pas des les points M sont infinie

car si un point M est associé à un triplet (x,y,z)
il est aussi associé a une infinité de triplet de la form (ax,ay,az) ________________
contre exemple:
on associe a chaque nombre de n le rest de sa divition par 3
=> le fait que les nombre de n sont infinie n'implque pas que les rest sont infinie
car si le rest r est associé à un nombre a
il est aussi associé a une infinité de nombre de la forme a+6k

[Quidam]

tu n'as pas montrer que le nombre des points M associé au triplet (x,y,z)
sont >=1975 :briques:

car le fait que les triplets (x,y,z) sont infinie n'implique pas des les points M sont infinie

car si un point M est associé à un triplet (x,y,z)
il est aussi associé a une infinité de triplet de la form (ax,ay,az)

C'est juste, il faut ajouter une démonstration qui prouverait que les points eux mêmes sont en nombre infini.

[aviateurpilot]

on a x=a²-b², y=2ab et z=a²+b²
on prend a et b tel que pgcd(a;b)=1 et a>b et a et b de parité differente
alors on va trouvé une infinité de triplets (x,y,z) tel que pgcd(x,y,z)=1
soit E l'ensmble de triplets.
chaque triplet nous donne 2 pionts
et chaque piont est associé à un et un seul triplet.