Angles égaux ?

[Ben314]

Salut,
Une petite question vaguement tiré de là : college-primaire/exercices-math-trigonometrie-t183949.html
Pour tout on considère le point du plan (euclidien dans un r.o.n.)
Pour fixés, quels sont les tels que ?
(et/ou ceux tels que où qui correspond plus ou moins à )

[zygomatique]

salut

pour simplifier l'écriture je me permets de modifier les notations : A, B, C, D d'abscisses respectives a, b, c et d entières avec 0 < a < b et 0 < c < d et AOB = COD et J (0, 1)

bon j'y vais un peu à la bourrin :

AOB = JOB - JOA

cos JOA = 1/OA et cos JOB = 1/OB

sin JOA = a/OA et sin JOB = b/OB

cos (AOB) = cos(JOB - JOA) = 1/(OA.OB) + ab/(OA.OB)


de même cos (COD) = 1/(OC.OD) + cd/(OC.OD)

(1 + ab)OC.OD = (1 + cd)OA.OB

on développe ... et on prie de trouver quelque chose de simple ...

[Ben314]

Jusque là, ça roule (on peut peut-être aller plus vite avec les tangentes que les cosinus, mais ça change rien au résultat)
Et effectivement, le coté "géométrie", c'est juste un "enrobage pour faire joli" : le problème est un problème d'arithmétique : pour 0c<d connus, ton équation (en a et b avec 0a<b) a-t-'elle d'autre solution que la solution "triviale" a=c et b=d ?

P.S. J'ai pas "la solution complète" qui, à mon sens, consisterais à déterminer les (c,d) tels qu'il n'y a que la solution triviale et, pour les autres, à déterminer au moins combien il y a de solutions (voire lesquelles)

[zygomatique]

merci ... effectivement prendre la tangente est plus rapide ...

je dois t'avouer que pour l'instant je n'ai pas été plus loin : le développement fait disparaître les 1 certes mais ensuite trouver THE factorisation intéressante puisqu'on travaille dans N

.... (après un peu de pluie et quelques calculs) ... et en espérant ne pas m'être trompé j'arrive à la condition :




ensuite faut jouer sur la divisibilité ...

[Ben314]

Juste un mot pour dire qu'en fait, ben... j'arrive quasiment à rien...
Rien que de savoir si un angle donné est "unique", c'est à dire de savoir si, pour entiers fixés, est ce que l'équation (d'inconnus entiers) a une unique solution ou pas, ben je sais pas...

[nodgim]

On en trouve de ces égalités. Il me semble même, si je ne m'abuse, qu'il y en a une infinité....

[nodgim]

Voici une famille de solutions pour l'égalité (x-y)/(1+xy) = (a-b)/(1+ab)

On pose x= y+1, la fraction devient1 / (1+y+y²)
On pose a = 1 + b + b² , la fraction devient 1 /( 1+b)

Quand b = y + y², les 2 fractions sont égales.