Schéma de séparation

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azf
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Schéma de séparation

par azf » 01 Mai 2021, 07:19

Bonjour

Je poste ici car ma question n'est pas adaptée sur la rubrique scolaire (vous avez autre chose à faire là-bas comme je l'ai dit sur l'autre sujet de cette même rubrique)

Support de ma question :
wikipédia : schéma d'axiome de compréhension au début du chapitre : le schéma d'axiomes

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_compr%C3%A9hension#:~:text=On%20parle%20aussi%20de%20sch%C3%A9ma,pour%20d%C3%A9finir%20un%20nouvel%20ensemble.&text=Le%20passage%20en%20majuscule%20pour,les%20objets%20sont%20des%20ensembles.

Si j'ai bien compris le principe de séparation , le lien wiki le définit comme étant le schéma d'axiome de compréhension -ce que je ne savais pas d'ailleurs - mais en faisant recherche Google je suis tombé sur le sujet schéma d'axiome de séparation)

Il stipulerai la chose suivante écrite en gras :

Aucune définition intentionnelle d'un ensemble ne peut être indépendante

Cette phrase n'est pas de moi ni du wiki mais d'un bouquin de logique
référence : leçons de logique abbé A.Robert : un vieux livre de logique du début XXième
Mon bouquin n'est pas très moderne , il utilise un peu les ensembles pour montrer comment construire un syllogisme valide mais il n'en parle pas beaucoup puisqu'il aborde très vite le sujet des modes de syllogismes valides et leurs noms et en ce qui concerne la théorie ZF etc..il n'y a strictement rien , théorie dans laquelle d'ailleurs je suis complètement largué

Bref cette phrase est dite à la marge dans la partie "logique formelle et dialectique" chapitre "La définition: sous-chapitre "but de la définition"

Du coup dans mon bouquin on aborde pas grand chose de la théorie des ensembles heu le schéma d'axiome de compréhension c'est hors cadre de ce dont il parle

Du coup cette phrase ressemble à un espèce de résumé du lien wiki et si toutefois c'est bien ce que dit wikipédia (dans le même temps pourquoi il ne dit pas cette phrase sur ce lien si elle correspond bien à ce qu'il dit?)

Donc j'essaye par quatre exemple de montrer que j'ai bien compris

Si j'ai bien compris ce que dit wikipédia alors les quatre formules ci-dessous violent ce principe et ce principe est cela même de quoi parle wikipédia (c'est une question)

de formule

de formule

de formule

et la dernière avec une propriété donnée

de formule



hdci
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Re: Schéma de séparation

par hdci » 01 Mai 2021, 10:55

Bonjour,

Effectivement, dans la théorie dite "naïve" de la théorie des ensembles, celle que Cantor a initiée à la fin du XIXème siècle, on pouvait définr un ensemble par une propriété quelconque.
Mais cela aboutit à des contradictions, les plus célèbres étant "l'ensemble de tous les ensembles" (ce qui est votre ensemble et l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes (qui est

Le premier est paradoxal car pour tout ensemble E, il n'existe pas d'injection de l'ensemble des parties de E dans E (concrètement, l'ensemble des parties est strictement plus "gros" que l'ensemble lui-même), or avec l'ensemble de tous les ensembles on crée une injection de l'ensemble des parties (qui est un ensemble, donc appartient à l'ensemble de tous les ensembles) dans l'ensemble des parties de façon très simple :

On trouve le paradoxe du second sans faire appel à ces injections : L'ensemble E, qui contient tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes, se contient-il lui-même ?Si c'est le cas, il ne peut pas se contenir par définition. Et s'il ne se contient pas lui-même, alors il se contient lui-même par définition. D'où le paradoxe.

C'est pour cela qu'en 1905, Zermelo a initié une nouvelle axiomatisation, complétée par Fränkel, et qui s'appelle "théorie des ensembles ZF" (complétée plus tard par ZFC, C pour "axiome du choix"). Et dans cette théorie, on ne peut définir les ensembles qu'à partir d'axiomes particuliers (la paire, la réunion, l'ensemble des parties, puis l'axiome de l'infini), et à parti de la définition chère à Cantor, par "compréhension", mais à ce moment-là on n'a le droit de ne définir la compréhension qu'à partir d'un ensemble existant (le schéma d compréhension devant alors s'entendre comme une définition par compréhension d'un sous-ensemble d'un ensemble connu).
Enfin, un nouveau schéma est ajouté, qui s'appelle "schéma d'axiomes de remplacement", pour faire court, cela revient à associer de façon fonctionnelle (au sens d'une fonction : pas plus d'une image) chaque élément d'un ensemble à un autre ensemble, et cela constitue un nouvel ensemble (défini non plus comme "sous-ensemble", mais comme "image d'un sous-ensemble par une formule" en quelque sorte).

Pour en revenir à vos 4 définitions d'ensemble votre fin de message, pur que ces définitions deviennent valide, il faut identifier un sur-ensemble F et compléter ainsi


Si vous voulez plus de détails, vous pouvez consulter les documents de mon blog, ici http://hdci.unblog.fr/theorie-des-ensembles-zfc/, qui décrit la construction de ZFC par étapes (et termine avec le superbe paradoxe de Banach-Tarski)
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azf
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Re: Schéma de séparation

par azf » 01 Mai 2021, 11:15

Merci pour ta participation HDCI

Donc du coup la phrase de cet abbé aristotélicien du début du XXième siècle que j'ai cité était pertinente?

Je suis étonné et perplexe

Je vais me fumer une clope directe, moi quand je stresse c'est automatique (et là je stresse )

Je savais qu'il fallait se méfier de l'intelligence et la pertinence de ces gens là mais là le mec il dit un truc vingt ans en avance sur les plus grands (décidément une vraie mine d'or Aristote et ses copains)

Il était abbé à Montréal

hdci
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Re: Schéma de séparation

par hdci » 01 Mai 2021, 11:18

"Début du XXème siècle", c'est compatible avec les travaux de Zermelo de 1905. Elle est donc pertinente au sens où on ne définit un ensemble qu'à partir d'autres ensembles.
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Re: Schéma de séparation

par azf » 01 Mai 2021, 11:39

Merci HDCI

Sinon à part ça je n'ai pas fini de "lire" son livre mais déjà en tout cas vraiment merci à lui aussi (d'outre tombe mais bon là j'y suis pour rien)

"lire" entre guillemets son livre , je dois souvent revenir en arrière comme avec mon d'algèbre et souvent pour que je me rende compte que j'avais pigé que dalle mais bon le but c'est pas de le lire c'est de comprendre et pas de partir définitivement dans le monde abstrait comme un imbécile heureux sans rien comprendre du comment il marche

Bonne continuation à toi HDCI

azf
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Re: Schéma de séparation

par azf » 06 Mai 2021, 11:39

Un énorme travail que tu as réalisé HDCI et que tu as proposé à la lecture dans ton lien

C'est tellement important pour moi qu'évidemment ça va énormément m'aider

hdci
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Re: Schéma de séparation

par hdci » 06 Mai 2021, 12:23

Merci :D
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