Théorème de Pythagore

par **Hanaconda** » 08 Déc 2015, 19:40

Bonsoir à tous !

J'ai un exercice à résoudre demain et je suis censée y appliquer le théorème de Pythagore, je galère pour la manière dont je devrais dessiner la forme mais aussi pour le raisonnement. Voici l'énoncé :

Soit ABC un triangle et M un point.
Les points H, K et L sont, respectivement, les projetés orthogonaux du point M sur (AB), (BC), (CA).
Montre que AH^2 + BK^2 + CL^2 = AL^2 + CK^2 + BH^2

J'ai beau essayer de trouver une solution, mais en vain, je me suis rendue compte que je n'étais pas faite pour cette science compliquée...Moi qui compte m'orienter vers un bac S..
Je vous prie de m'aider à comprendre l'énoncé ci-dessus ainsi que la manière dont je peux traiter ce genre d'exos. Merci d'avance.

par **mouette 22** » 08 Déc 2015, 20:30

bonsoir ,

et le point M il est où ??? dans le triangle ? hors du triangle ?

par **Hanaconda** » 08 Déc 2015, 20:46

C'est justement ça qui me perturbe. On a juste précisé que ça faisait partie du plan.

par **Eoiwa** » 08 Déc 2015, 22:55

Bonsoir,

Pour ce qui est du dessin, il ne devrait pas être trop difficile à faire.

Tu dois dessiner un triangle ABC (quelconque si ton énoncé ne précise rien je pense).
Ensuite tu places un point M, n'importe où (étant donné qu'un triangle est plan, ce point peut être à l'intérieur comme à l'extérieur).
Pour le point H, tu traces la droite perpendiculaire à la droite (AB). Vu qu'il s'agit d'une droite, tu peux la prolonger si cela t'est nécessaire.
Donc en résumé, (HM) doit être perpendiculaire à (AB)

Tu appliques un raisonnement similaire pour pouvoir placer les points K et L.
(KM) doit être perpendiculaire à (BC).
(LM) doit être perpendiculaire à (AC).

Voilà, même si ce n'est pas grand chose, j'espère que ça pourra t'aider, j'aurai bien voulu te chercher une piste, mais j'en ai pas le temps, j'en suis désolé.

par **Lostounet** » 08 Déc 2015, 23:34

Bonjour,

J'ai fait le cas M en dehors du triangle:
Si on écrit toutes les relations de Pythagore dans tous les triangles rectangles de la figure:

MH^2 + HB^2 = MB^2 (u1 )
BK^2 + MK^2 = BM^2 (u2)

MH^2 + AH^2 = AM^2 (v1)
ML^2 + AL^2 = AM^2 (v2)

ML^2 + LC^2 = MC^2
CK^2 + MK^2 = MC^2

Ensuite il faut essayer de les combiner astucieusement pour aboutir. Voici ce que j'ai tenté (ce n'est pas difficile, il faut juste le faire lentement)

Et si on somme, membre à membre ces équations

(par les 2 égalités (1) et (2))

MH^2 + AH^2 = BK^2 + MK^2 (E)

(3) et (4):

MH^2 + AH^2 = ML^2 + AL^2 (F)

(5) et (6)

ML^2 + LC^2 = CK^2 + MK^2 (G)

On déduit, de (E) et (F):
ML^2 + AL^2 = BK^2 + MK^2

Par (u1) et (u2): MH^2 + BH^2 = BK^2 + MK^2

Par (v1) et (v2) MH^2 + AH^2 = ML^2 + AL^2

Donc: ML^2 + AL^2 + MH^2 + BH^2 + CK^2 + MK^2 = HM^2 + AH^2 + BK^2 + MK^2 + LC^2 + ML^2

Donc... soustrayons ML^2, MH^2, et MK^2 aux deux membres,

AH^2 + BK^2 + LC^2 = AL^2 + HB^2 + CK^2

C'est l'égalité souhaitée

par **Lostounet** » 08 Déc 2015, 23:41

Hanaconda a écrit:J'ai beau essayer de trouver une solution, mais en vain, je me suis rendue compte que je n'étais pas faite pour cette science compliquée...Moi qui compte m'orienter vers un bac S..
Je vous prie de m'aider à comprendre l'énoncé ci-dessus ainsi que la manière dont je peux traiter ce genre d'exos. Merci d'avance.

Il ne faut jamais reculer face à la difficulté, c'est comme cela qu'on progresse !
Tu peux ne pas tout savoir et avoir une attitude positive face aux choses que tu ne comprends pas encore, ou pas encore assez.

Cela t'aidera beaucoup par la suite!

par **Hanaconda** » 09 Déc 2015, 00:46

Merci énormément, votre aide m'a tiré les choses au clair.
Par contre, Lostounet, vu que j'arrive pas vraiment à comprendre quelques parties de ton appréciable réponse, pourrais-tu me préciser certains points s'il te plaît ?
Je ne comprends pas pourquoi MH^2 + AH^2 = BK^2 + MK^2 alors que c'est la somme AH^2 + HB^2 qui est égale à MB^2
Je comprends pas aussi pourquoi tu as additionné les égalités et comme tu l'as fait.
Je serai vraiment très reconnaissante si tu m'expliques un p'tit peu :$
Et pour la M je suis arrivée à la mettre au dedans du triangle mais pas en dehors.
Merci encore !

par **Hanaconda** » 09 Déc 2015, 00:53

Lostounet a écrit:Il ne faut jamais reculer face à la difficulté, c'est comme cela qu'on progresse !
Tu peux ne pas tout savoir et avoir une attitude positive face aux choses que tu ne comprends pas encore, ou pas encore assez.

Cela t'aidera beaucoup par la suite!

Je le sais et j'en suis consciente. Toutefois, il m'arrive toujours de bloquer face à plusieurs exos que je fais histoire d'améliorer mes capacités en maths...Par conséquent, je me suis fait gober, il y a belle lurette, que cette matière est difficile et je n'ai pas l'intelligence nécessaire pour la rendre "facile" et que je ne peux pas y remédier...M'enfin bref, je ne baisse tout de même pas les bras.
Merci pour ton encouragement

par **Lostounet** » 09 Déc 2015, 01:02

J'ai du coup beaucoup de choses à te dire. Je le ferai demain si c'est possible, car je dois dormir (j'ai un examen demain matin).

Je reviendrai demain soir, promis.

par **Hanaconda** » 09 Déc 2015, 01:46

D'accord, dors bien. Et bonne chance pour ton exam.

par **Lostounet** » 10 Déc 2015, 00:20

Bonjour Hanaconda, as-tu réussi à comprendre finalement? Voudrais-tu qu'on fasse ensemble l'exercice ou bien tu l'as rendu?

par **Hanaconda** » 10 Déc 2015, 02:19

Bonsoir.
Je ne l'ai pas rendu, non. On n'a pas eu le temps de le corriger ce matin , j'aimerais bien qu'on le fasse ensemble, si tu veux.

par **Lostounet** » 10 Déc 2015, 13:51

Salut,

Hanaconda a écrit:Soit ABC un triangle et M un point.
Les points H, K et L sont, respectivement, les projetés orthogonaux du point M sur (AB), (BC), (CA).

J'ai tracé un triangle ABC quelconque. Et j'ai placé un point M, qui peut être à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ABC.

Pour construire le point K et L, j'ai tout simplement mené une perpendiculaire qui passe par M respectivement à (BC) et (AC).
Quand on veut mettre le point H, on se rend compte en que le projeté ne sera pas sur le segment [AB] tu vois? On peut donc tracer la droite qui porte le segment [AB], et projeter le point M perpendiculairement sur celle-ci.

On va maintenant appliquer le théorème de Pythagore dans 6 triangles:
BHM et BKM
AML et AMH
MLA et MLC

Triangle BHM, rectangle en H:

Triangle BMK, rectangle en K:

D'après les deux égalité précédentes, on se rend compte que (MH^2 + HB^2) d'une part, et (BK^2 + MK^2) d'autre part sont égales à la même quantité MB^2. Elles sont donc égales entre elles, et on peut dire:

AML est rectangle en L:

AMH rectangle en H:

Les deux égalités précédentes montrent donc que: AL^2 + ML^2 = AH^2 + HM^2

Finalement, dans les 2 triangles MLA et MLC:

Donc ML^2 + LC^2 = CK^2 + MK^2

Finalement, on a prouvé 3 égalités:

Tu es bien d'accord?
Maintenant, ce qu'on peut faire, c'est ajouter membre à membre ces égalités en utilisant la propriété suivante:
Si a = b et c = d et e = f
Alors
a + c + e = b + d + f (c'est logique non?)

Donc, on peut dire que:

Donc finalement:

On peut donc soustraire la même quantité (MK^2 + HM^2 + ML^2) des deux cotés de l'égalité !

par **Hanaconda** » 10 Déc 2015, 20:19

Ah mais ouiii, en fait, je veux pas passer pour une ingrate mais j'ai eu les mêmes résultats ( en mettant le M au dedans du triangle) sauf que je n'ai pas pensé à faire la somme des inégalités..
Merci beaucoup à toi. Ton aide m'a largement réjouie ( surtout quand j'ai vu que la moitié de l'exo était juste q: ).
Bonne soirée !

par **Lostounet** » 10 Déc 2015, 23:59

Parfait alors! Bonne soirée ^^

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