Prison

[Number2]

Bonjour! Voilà j'ai un problème et je n'arrive pas trouver de solution :
Dans un donjon, vingt cellules numérotées de 1 à 20 sont fermés à clé. Ces cellules s'ouvrent et se ferment en un tour de clé. Alors que les prisonniers dorment à poings fermés, un premier gardien, les pensant ouvertes, met un tour de clé à toutes les cellules. Peu après, un deuxième gardien met un tour de clé à toutes les cellules dont le numéro est multiple de 2. Arrive ensuite le troisième gardien met un tour de clé à toutes les cellules dont le numéro est multiple de 2. Et ainsi de suite.. Au final 20 gardiens se sont succédés.

1. Quels sont les numéros des cellules dont les prisonniers vont facilement pouvoir s'évader?
Je trouve les numéros 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 17 , 18 , 19 , 20

Mais la question suivante qui est : Reprendre le même problème avec 500 cellules et 500 passages de gardiens. Justifier
me rend malade je ne peux pas faire comme j'ai fait pour 20 cellules (un tableau) car ce serait trop long il y a surement une formule...

[Sve@r]

Bonjour! Voilà j'ai un problème et je n'arrive pas trouver de solution :
Dans un donjon, vingt cellules numérotées de 1 à 20 sont fermés à clé. Ces cellules s'ouvrent et se ferment en un tour de clé. Alors que les prisonniers dorment à poings fermés, un premier gardien, les pensant ouvertes, met un tour de clé à toutes les cellules. Peu après, un deuxième gardien met un tour de clé à toutes les cellules dont le numéro est multiple de 2. Arrive ensuite le troisième gardien met un tour de clé à toutes les cellules dont le numéro est multiple de 2. Et ainsi de suite.. Au final 20 gardiens se sont succédés.

1. Quels sont les numéros des cellules dont les prisonniers vont facilement pouvoir s'évader?
Je trouve les numéros 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 17 , 18 , 19 , 20

Mais la question suivante qui est : Reprendre le même problème avec 500 cellules et 500 passages de gardiens. Justifier
me rend malade je ne peux pas faire comme j'ai fait pour 20 cellules (un tableau) car ce serait trop long il y a surement une formule...

Elles sont toutes fermées. Un tour de clef ouvre la cellule et un tour de clef de plus la referme.
Le gardien 1 donne un tour à toutes les cellules. Toutes sont ouvertes
Le gardien 2 donne un tour aux cellules pair => toutes les cellules pair se referment (celles impair restent ouvertes)
Le gardien 3 donne un tour aux cellules multiples de 3 => la cellule 3 est refermée, la cellule 6 s'ouvre de nouveau, la 9 se referme mais sera réouverte lorsque le gardien n° 9 passera à son tour mais là, le gardien 6 sera déjà passé et aura donné un tour de clef à la cellule 6 qui se sera refermée etc.

Ainsi, pour 9 cellules et 9 gardiens
La cellule 3 a été touchée par le gardien 1 et 3 => elle est fermée
La cellule 4 a été touchée par le gardien 1, 2 et 4 => elle est ouverte
La cellule 5 a été touchée par le gardien 1 et 5 => elle est fermée
La cellule 9 a été touchée par le gardien 1, 3 et 9 => elle est ouverte

De là tu dois arriver à trouver la règle

PS: Tu t'es trompé pour ta première réponse (t'as probablement considéré que les cellules étaient toutes initialement ouvertes alors que l'énoncé les place fermées)

[Number2]

Merci beaucoup alors il faut que je trouve tous les diviseurs de tous les nombres jusqu'à 500 c'est bien ça?

[Sve@r]

Merci beaucoup alors il faut que je trouve tous les diviseurs de tous les nombres jusqu'à 500 c'est bien ça?

Exact !!! Mais tu peux déjà enlever tous les nombres premiers...

[Number2]

Merci pour vos réponses ça m'a beaucoup aidé mais aujourd'hui mon prof il a dit que c'était trop long il y a une autre solution... et je crois que je l'ai trouvé

[Sve@r]

Merci pour vos réponses ça m'a beaucoup aidé mais aujourd'hui mon prof il a dit que c'était trop long il y a une autre solution... et je crois que je l'ai trouvé

C'est vrai que c'est long. Essayons de réfléchir...

Pour chercher les diviseurs de 500, il suffit de s'arrêter à 250 car au delà, le seul diviseur qui reste est 500. Donc pour la cellule 500, l'état final ouvert/fermé sera l'opposé de la cellule 250. Et elle-même sera l'opposé de la cellule 125;
Or la cellule 125 n'a que 4 diviseurs 1, 5, 25 et 125 donc elle se retrouve fermée donc la 250 est ouverte et la 500 est fermée.

Je pense qu'on peut partir de là et faire un truc ressemblant au crible d'Erastothène
La cellule 2 est fermée donc la 4 est ouverte, la 8 est fermée, la 16 est ouverte, la 32 est fermée, la 64 est ouverte, la 128 est fermée et la 256 est ouverte.
La cellule 3 est fermée et elle donne l'état de la 6, 12, 24, 48, 96, 192 et 384
La cellule 5 est fermée et donne l'état de la 10, 20, 40, 80, 160 et 320
Et ainsi de suite jusqu'à avoir établi l'état des 500 cellules (sans oublier d'y inclure celles qui sont un nombre premier et qui, n'ayant que 2 diviseurs, resteront fermées) et c'est fini. D'ailleurs je dis 500 mais en fait 250 suffisent car au delà, toutes celles qui ne sont pas multiples d'un des nombres précédent sont nombre premier.

[Number2]

NON MAIS SERIEUX COMMENT C'ETAIT SIMPLE EN VRAI!!! JE ME CASSAIS LA TÊTE POUR RIEN... JE VIENS DE REMARQUER QUE TOUS LES NOMBRES ONT UN NOMBRE DE DIVISEURS PAIRS >>SAUF<< CE QUI SONT LE PRODUIT D'UN CARRE