PI et les fractions continues

[mastastolina]

Bonjour,

Je fait mon DM de maths et j'ai un gros soucis au dernier exercice.
Voici l'énoncé :

Un homme entreprend des recherches sur PI et les fractions continues, il propose le developpement de PI/4 sous cette forme :
PI= 4x_____1___________________
1+_____1(puissance2)_____
2+ ____3(puissance2)___
2+____5(puissance2)_
2+____7(puissance2)
2+....

La première approximation de PI par cette formule est : A= 4x1/1 = 4.
1. Calculer la seconde approximation de PI obtenue à partir de cette formule, cest-à-dire : B= 4x___1____
1+ 12 /2
2. Calculer de meme les trois approximations suivante de PI
3. Comparer les écritures décimales des approximations obtenues avec les fractions à celle donnée par la calculatrice pour le nombre . Que peut-on dire ?

J'espère que quelqu'un pourra m'aider..Merci.

[mathtiti]

Bonjour,

Je fait mon DM de maths et j'ai un gros soucis au dernier exercice.
Voici l'énoncé :

Un homme entreprend des recherches sur PI et les fractions continues, il propose le developpement de PI/4 sous cette forme :
PI= 4x_____1___________________
1+_____1(puissance2)_____
2+ ____3(puissance2)___
2+____5(puissance2)_
2+____7(puissance2)
2+....

La première approximation de PI par cette formule est : A= 4x1/1 = 4.
1. Calculer la seconde approximation de PI obtenue à partir de cette formule, cest-à-dire : B= 4x___1____
1+ 12 /2
2. Calculer de meme les trois approximations suivante de PI
3. Comparer les écritures décimales des approximations obtenues avec les fractions à celle donnée par la calculatrice pour le nombre . Que peut-on dire ?

J'espère que quelqu'un pourra m'aider..Merci.

1. Nous avons B= 8/3 ~ 2,667
2. Puis nous avons :
C= 52/15 ~ 3,4667
D= 304/105 ~ 2,8952
E= 1052/215 ~ 3,3397
3. Pi ~ 3,141593
Nous avons :
B < D < Pi < E < C < A
On constate que chaque rang supplémentaire de la fraction nous rapproche de Pi en étant supérieur au rang impair et inférieur au rang pair.
Cette constatation semble confirmer la validité de la formule. A noter qu'il faut faire un calcul sur un rang élevé pour avoir une bonne approximation...