EXERCICE GEOMETRIE MATHS 4e

[momohawaien]

J'ai un exercice à résoudre en maths qui me pose soucis. L'intitulé est le suivant :

"I appartient aux cercles C1 et C2. [AB] est un diamètre de C1. La droite (BI) recoupe C2 en C. [CD] est un diamètre de C2. Donc les points A, I et D sont alignés."

On me demande si cette affirmation est vraie ou fausse et de justifier. Quelqu'un aurait-il la solution ?

Merci.

[Sve@r]

Bonjour à toi aussi et bienvenue sur ce forum.
Si t'as lu la charte que t'as signé, tu verras que même si on a la solution, on ne te la donnera pas car on n'est pas là pour faire tes exercices à ta place.

Accessoirement, je t'avoue que je reste pour le moment sec sur cette question. Alors tu vas me dire quels sont tes 2 derniers chapitres étudiés en cours voir si ça me rappelle un théorème permettant le déclic qui va bien...

[Deluxor]

Peut-être peut on résoudre l'exercice avec le théorème qui dit que : "Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle."...

[Sve@r]

Peut-être peut on résoudre l'exercice avec le théorème qui dit que : "Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle."...

Exact. Pas bien réveillé ce matin.

Bravo pour avoir eu cette brillance d'esprit qui m'a manqué. Toutefois, tu remarqueras que j'ai supprimé de ton post tout ce qui se rapprochait trop de la solution... :zen:

[Deluxor]

Exact. Pas bien réveillé ce matin.

Bravo pour avoir eu cette brillance d'esprit qui m'a manqué. Toutefois, tu remarqueras que j'ai supprimé de ton post tout ce qui se rapprochait trop de la solution... :zen:

Ca marche. :lol3:

[momohawaien]

Merci de vos réponses, mais je n'ai toujours pas le déclic... Je vois bien en faisant le dessin que je peux obtenir un triangle ABD rectangle en D et que AD est l'hypothénuse de ce triangle ; mais je ne sais pas expliquer pourquoi I est sur cette hypothénuse. J'étudie en ce moment le théorème de pythagore et les tangentes d'un cercle. Une explication plus claire m'aiderait peut-être un peu mieux à comprendre...

Merci d'avance.

[Sve@r]

Merci de vos réponses, mais je n'ai toujours pas le déclic... Je vois bien en faisant le dessin que je peux obtenir un triangle ABD rectangle en D et que AD est l'hypothénuse de ce triangle ;

Ce n'est pas ABD qui est rectangle. Le triangle rectangle doit avoir ses 3 points sur le même cercle et A et D sont sur 2 cercles différents !!!
Et si ABD était rectangle en D, alors AD ne pourrait pas être l'hypoténuse (le point rectangle n'en fait jamais partie !!!)

mais je ne sais pas expliquer pourquoi I est sur cette hypothénuse. J'étudie en ce moment le théorème de pythagore et les tangentes d'un cercle. Une explication plus claire m'aiderait peut-être un peu mieux à comprendre...

Il y a 2 triangles rectangles...

[momohawaien]

Ok. Si je dis que :

Puisque I, distinct des points A et B, est un point du Cercle C1, de diamètre AB, alors ABI forme un triangle rectangle en I (dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit).

De plus, puisque I, distinct des points C et D, est un point du Cercle C2, de diamètre CD, alors CDI forme un triangle rectangle en I.

Vu que I appartient à la fois au segment AI et au segment ID, alors AID sont alignés.

Qu'en pensez-vous ?

J'ai un autre exercice qui me pose soucis, voici l'énoncé :

"(d) et (d') sont deux droites perpendiculaires. A et B sont deux points de la droite (d'). Rédiger un programme de construction d'un cercle passant par A et B et tangent à la droite (d). Faire la construction. Combien y a-t-il de solutions ?". J'ai déjà un schéma proposé sur lequel les points A et B sont à droite de la droite (d) et éloignés. Du coup, si je trace un cercle de diamètre AB, il ne touche pas la droite (d). Avez-vous une idée qui déclenche un déclic chez moi ?

D'avance, merci et bonne année. :lol3:

[Sve@r]

Ok. Si je dis que :

Puisque I, distinct des points A et B, est un point du Cercle C1, de diamètre AB, alors ABI forme un triangle rectangle en I (dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit).

De plus, puisque I, distinct des points C et D, est un point du Cercle C2, de diamètre CD, alors CDI forme un triangle rectangle en I.

Vu que I appartient à la fois au segment AI et au segment ID, alors AID sont alignés.

Qu'en pensez-vous ?

Parfait

J'ai un autre exercice qui me pose soucis, voici l'énoncé :

"(d) et (d') sont deux droites perpendiculaires. A et B sont deux points de la droite (d'). Rédiger un programme de construction d'un cercle passant par A et B et tangent à la droite (d). Faire la construction. Combien y a-t-il de solutions ?". J'ai déjà un schéma proposé sur lequel les points A et B sont à droite de la droite (d) et éloignés. Du coup, si je trace un cercle de diamètre AB, il ne touche pas la droite (d). Avez-vous une idée qui déclenche un déclic chez moi ?

D'avance, merci et bonne année. :lol3:

Si le cercle passe par A et B c'est qu'il touche d'. S'il est tangent à d, c'est qu'il touche d en un point.
Quel est l'unique point qui soit commun à d et d' ?

[sad13]

"Vu que I appartient à la fois au segment AI et au segment ID, alors AID sont alignés."


T'as bien rédigé mais tu peux être plus précis, car soit un triangle isocèle(non aplati) AID de sommet I , j'ai bien I appartient [AI] et au segment [ID] mais A,I, D ne sont pas alignés.

Ceci dit, l'idée tu l'as (AI)_|_ (IC) et (IC)_|_ (ID) donc (IA)//(ID) or I est un point commun donc A,I et D sont alignés.

[momohawaien]

Merci pour la précision pour le 1er exercice. :we:

Pour le pb de construction, effectivement A et B passent par (d') puisqu'ils appartiennent à cette droite. Sauf, que sur le schéma proposé, A et B sont éloignés de (d).

J'ai répondu à la 1ère condition posée qui est :
construire un cercle passant par A et B => j'ai fait un cercle de diamètre AB.

la 2e condition est :
il doit être tangent à (d) => A et B sont éloignés de (d) et le cercle de diamètre AB ne touche en aucun point (d). Donc ???

Dois-je faire un autre dessin que celui qui m'est proposé en mettant les points A et B ailleurs sur la droite (d') ? ou y a-t-il une possibilité tellement évidente que je ne la vois pas ? Je pense qu'il faut que je tienne compte du fait que (d) et (d') sont perpendiculaires et que c'est le seul point de contact entre les 2 droites, mais là, ça ne me vient pas...

Une idée ?

[Sve@r]

Merci pour la précision pour le 1er exercice. :we:

Pour le pb de construction, effectivement A et B passent par (d') puisqu'ils appartiennent à cette droite. Sauf, que sur le schéma proposé, A et B sont éloignés de (d).

J'ai répondu à la 1ère condition posée qui est :
construire un cercle passant par A et B => j'ai fait un cercle de diamètre AB.

la 2e condition est :
il doit être tangent à (d) => A et B sont éloignés de (d) et le cercle de diamètre AB ne touche en aucun point (d). Donc ???

Dois-je faire un autre dessin que celui qui m'est proposé en mettant les points A et B ailleurs sur la droite (d') ? ou y a-t-il une possibilité tellement évidente que je ne la vois pas ? Je pense qu'il faut que je tienne compte du fait que (d) et (d') sont perpendiculaires et que c'est le seul point de contact entre les 2 droites, mais là, ça ne me vient pas...

Une idée ?

D'après l'énoncé initial, j'avais compris que A et B étaient placés à ta disposition. S'ils sont fixes, alors ça change un peu.
Donc déjà ils ne doivent pas être placés de part et d'autre de d sinon aucun cercle ne pourra y être tangent. Donc ils sont tous deux d'un coté.
Ben imagine un cercle assez grand pour que A et B soient dessus mais aussi pour qu'il soit tangent à d. Fais une esquisse de ce cercle. Ensuite demande-toi par où passera un rayon de ce cercle parallèle à d. Et demande-toi aussi comment sera le rayon parallèle à d'. Ca devrait te donner de bonnes idées pour arriver à tracer ce cercle...

[momohawaien]

Pour que le cercle soit tangent avec (d), je n'ai pas le choix, il faut absolument que j'ai un point, et un seul, commun, soit A, soit B. Sachant que A et B appartiennent à (d') et doivent appartenir tous les 2 au cercle (donc diamètre) et que (d) et (d') sont perpendiculaires, je dois placer mes points différemment que le schéma proposé.


A partir du moment où je propose un autre schéma, je peux mettre, soit A, soit B à l'intersection de (d) et (d') et je peux les mettre soit à droite, soit à gauche de (d) ; ce qui veut dire 4 schémas de construction possibles, sachant que dans les 2 cas A et B seront du même côté. c'est très simple si je change le dessin proposé. Après, pas de soucis pour la rédaction du programme de construction puisque cela renvoie à des propriétés concernant les tangentes. Mon seul dilemne est : puis-je changer le dessin proposé ?

[Sve@r]

Pour que le cercle soit tangent avec (d), je n'ai pas le choix, il faut absolument que j'ai un point, et un seul, commun, soit A, soit B

Faux. A ou B ne sont pas forcés d'être sur d. Dans ce cas, AB n'est pas diamètre. La seule obligation concernant A et B est qu'ils ne peuvent pas se trouver de part et d'autre de d.

Mon seul dilemne est : puis-je changer le dessin proposé ?

Non. Si on ne te dit pas "placer les points A et B tels que..." alors t'as pas le droit de les modifier.

[momohawaien]

Tb. Je récapitule, on sait que :
- A et B ne sont par sur (d) => donc ils ne peuvent pas être diamètre du cercle
- A et B sont sur (d')
- A et B sont du même côté
- (d) et (d') sont perpendiculaires
- on doit construire un cercle passant par A et B
- ce cercle doit être tangent à (d)

Si je dis :
- je trace la médiatrice de [AB] (milieu et angle droit)
- le centre du cercle est sur cette médiatrice
- [AB] est une corde de ce cercle
- le rayon du cercle est égale à la distance entre l'intersection avec (d') et la médiatrice => donc le rayon est parallèle à (d') et perpendiculaire à (d)
- j'ai donc 2 solutions, de part et d'autre (d') : en haut et en bas

Qu'en pensez-vous ? Cela me semble coller si je fais le dessin. Par contre, je ne sais pas si mon explication est bien "mathématique"...

[Sve@r]

Tb. Je récapitule, on sait que :
- A et B ne sont par sur (d) => donc ils ne peuvent pas être diamètre du cercle
- A et B sont sur (d')
- A et B sont du même côté
- (d) et (d') sont perpendiculaires
- on doit construire un cercle passant par A et B
- ce cercle doit être tangent à (d)

Si je dis :
- je trace la médiatrice de [AB] (milieu et angle droit)
- le centre du cercle est sur cette médiatrice
- [AB] est une corde de ce cercle
- le rayon du cercle est égale à la distance entre l'intersection avec (d') et la médiatrice => donc le rayon est parallèle à (d') et perpendiculaire à (d)
- j'ai donc 2 solutions, de part et d'autre (d') : en haut et en bas

C'est excellent.

Qu'en pensez-vous ? Cela me semble coller si je fais le dessin. Par contre, je ne sais pas si mon explication est bien "mathématique"...

C'est quoi être "mathématique" ? C'est simplement dire "je sais que j'ai tel élément, et que j'ai telle règle qui lie cet élément avec un autre donc j'ai forcément cet autre élément". C'est simplement faire preuve de réflexion, de déduction et de logique.

[momohawaien]

- le rayon = distance entre (d') et médiatrice [AB]
- le centre O est sur la médiatrice [AB]
- je trace le centre O tel que OA = OB = rayon (avec un compas, je me place sur A et trace le point d'intersection avec la médiatrice, pareil pour B)

Cela me semble pas mal, non ? :id:

[Sve@r]

- le rayon = distance entre (d') et médiatrice [AB]
- le centre O est sur la médiatrice [AB]
- je trace le centre O tel que OA = OB = rayon (avec un compas, je me place sur A et trace le point d'intersection avec la médiatrice, pareil pour B)

Cela me semble pas mal, non ? :id:

Il te faut d'abord décrire comment tu obtiens ton écartement de compas. Pense à I milieu de [AB]...

[momohawaien]

mon écartement = distance entre (d') et médiatrice. Cela n'est-il pas suffisant ?

Quel rapport avec I ?

[Sve@r]

mon écartement = distance entre (d') et médiatrice. Cela n'est-il pas suffisant ?

Quel rapport avec I ?

Pour calculer un écartement entre deux droites, il faut bien nommer 2 points de ces droites...