Enigme

[witch]

Bonjour , j'ai plusieurs soucis et je ne m'en sors pas, voici les 3 exercices qui je n'arrive pas à faire, merci beaucoup de votre aide :

1er exercice :

Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste. Lorsqu'ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul, lorsqu'ils se regroupaient par 3 il en restait 2, par 4 il en restait 3, par 5 il en restait 4. Les danseurs étaient moins de 100. Combien en y en avait-il ?

2ème exercice :
A : n désigne un nombre entier non nul
écrire la différence 1 sur n moins 1 sur n + 1 sous la forme d'un seul quotient.

B : Calculer la somme : 1 sur 1*2 + 1 sur 2*3 + 1 sur 3*4 +........+ 1 sur 1999*2000


3 ème exercice :

1 sur 1*3 + 1 sur 3*5 + 1 sur 5*7 + ....... 1 sur 1999 * 2001

indication : 1 sur 2n+1 - 1 sur 2n+3 = ......

Même si vous ne savez pas répondre à tous les exrcices, laissez une réponse pour l'exercice auquel vous savez répondre.

Merci encore de votre réponse :we:

[Alpha]

Salut,

Pour le premier exo, traduit l'énoncé en terme de congruences ou de restes (c'est la même chose) : en notant n le nombre de danseurs, tu obtiens successivement les restes dans la division de n par 2,3, etc...

Pour le second exo, le A se fait tout simplement en mettant au même dénominateur, ensuite le B n'est qu'une application du A : en expriment le terme général de la somme pour n, tu le transformes grâce au A, ce qui fait apparaitre une somme téléscopique (les termes vont s'annuler 2 à 2, il ne restera que le permier et le dernier).

A+

[Alpha]

Et pour l'exo 3, il s'agit du même principe que l'exo 2.

Avec ça tu devrais t'en sortir :lol4:

[witch]

Je suis désolé mais je n'y arrive pas !

[Alpha]

Je t'ai déjà pas mal aidé, maintenant c'est à toi de faire des efforts et de chercher vraiment les exercices, en étant un peu patient (tu n'as même pas cherché 10 minutes entre ma réponse et ton dernier message).

N'attends pas de moi que je te balance les réponses toutes prêtes à être recopiées.

[Alpha]

Je voudrais aussi savoir quel est ton niveau : terminale S?
Tu n'as pas vraiment posté le message au bon endroit, il ne s'agit pas d'énigmes. Tu aurais du poster dans la partie lycée ou sup, ce qui aurait permi de connaître ton niveau.
Mais ceci n'est pas grave.

[witch]

Tu dois surement voir passer beaucoup de gens qui n'ont pa envie de
bosser mais moi ça fait une semaine que j'essaye de faire ces exercices ! Tous mes copines de classes y sont arrivés, je voulais me débrouiller toute seule mais je n'y arrive pas , je ne comprend pas ce que sont des somme telescopiques ou des termes de congruences.... Je suis en 3ème et je n'ai pas encore vu ça.

[witch]

J'ai réussi pour le petit a du 2ème exercice. Ma mère et mon frère ne comprennent pas tes explications, nous sommes moins fort que toi.

[Bob45]

Moi même qui suit en terminale ES n'ai jamais entendu cela... mdr

[rene38]

Bonsoir

Exo 1 : S'il y avait 1 danseur de plus, que se passerait-il lorsqu'ils se regroupent par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ?
Donc, si d est le nombre de danseurs, que peut-on dire de d+1 ?

[flight]

Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste. Lorsqu'ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul, lorsqu'ils se regroupaient par 3 il en restait 2, par 4 il en restait 3, par 5 il en restait 4. Les danseurs étaient moins de 100. Combien en y en avait-il ?


soit N le nombre de danceurs

on a N=2Q1+1
N=3Q2+2=3Q2+3-1=3(Q2+1)-1
N=4Q3+3=4Q3+4-1=4(Q3+1)-1
N=5Q4+4=5Q4+5-1=5(Q3+1)-1

si bien que N+1=k.ppcm(3,4,5)=60k (on vois vite que N est impaire pour pouvoir verifier la première équation) de plus N=60k-1<100 et k est la partie entière de 101/60 soit k =1 ce qui donne N= 59 danceurs

[yvelines78]

bonsoir,

le problème peut s'écrire :
2q1+1=x, 2q1=x-1, x-1 est un multiple de 2
3q2+2=x,3q2=x-2, x-2 est un multiple de 3
4q3+3=x, 4q3=x-3, x-3 est multiple de 4
5q4+4=x, 5q4=x-4, x-4est un multiple de 5

x-4 est un multiple de 5 er x<100
x-4 peut prendre les valeurs :
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55.........., 95
soit pour x :
9, 14, 19, 24, 29, .............., 99

x-1 est un multiple de 2 donc x est impair
soit pour x :
9, 19, 29, 39, .............................., 99
et x-2 : 7, 17, 27, 37, ...................97

x-2 est un multiple de 3
soit pour x-2 : 27, 57, 87
et pour x :
29, 59, 89
soit pour x-3 : 26, 56, 86

x-3 est un multiple de 4
soit pour x-3 : 56
et x=59

[yvelines78]

exo 2 :
1/n - 1/(n+1)=((n+1)-n)/n(n+1)=1/n(n+1)

quand n=1
1/n(n+1)=1/1*2=1/1-1/2=1-1/2

quand n=2
1/n(n+1)=1/2*3=1/2 - 1/3

quand n=3
1/n(n+1)=1/3*4=1/3-1/4

(1/1*2 )+(1/2*3) + 1/3*4+..........+1/1999*2000
=(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3-1/4)+..........+(1/1999-1/2000)
=1-1/2000
=1999/2000

exo 3 :
c'est la même chose
1/(2n+1) - 1/(2n+3)=2/(2n+1)(2n+3)

2/1*3=1/1-1/3, donc 1/1*3=1/2(1-1/3)

2/3*5=1/3-1/5, 1/3*5=1/2(1/3-1/5)

1/1999*2001=1/2(1/1999-1/2000)

1/1*3+1/3*5+1/5*7+..........+1/1999*2001
=1/2(1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+1/2(1/5-1/7)+........+1/2(1/1999-1/2001)
=1/2(1-1/2001)
=1/2(2000/2001)=1000/2001

[abelji]

Bravo Rene38

[abelji]

Bravo RENE38

[SLEL]

bonsoir,

le problème peut s'écrire :
2q1+1=x, 2q1=x-1, x-1 est un multiple de 2
3q2+2=x,3q2=x-2, x-2 est un multiple de 3
4q3+3=x, 4q3=x-3, x-3 est multiple de 4
5q4+4=x, 5q4=x-4, x-4est un multiple de 5

x-4 est un multiple de 5 er x<100
x-4 peut prendre les valeurs :
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55.........., 95
soit pour x :
9, 14, 19, 24, 29, .............., 99

x-1 est un multiple de 2 donc x est impair
soit pour x :
9, 19, 29, 39, .............................., 99
et x-2 : 7, 17, 27, 37, ...................97

x-2 est un multiple de 3
soit pour x-2 : 27, 57, 87
et pour x :
29, 59, 89
soit pour x-3 : 26, 56, 86

x-3 est un multiple de 4
soit pour x-3 : 56
et x=59

je n'ai ps tout compris, pouvez vous etre plus precis svp