X/x vs x/y

[TheReveller]

Bonjour,

Il y a longtemps que je n'ai pas fait de limites et je comprends que x/y lorsque x = 0 et y = 0 est indéfini puisque mathématiquement on suppose la limite de x tend vers 0 et la limite de y tend vers 0 et bref si x approche de droite alors que y approche de gauche, ça ne donnera pas le même résultat ou si x approche plus rapidement que y, etc.

Mais pourquoi x/x est indéfini lorsque x = 0 ? Puisque le dénominateur et le numérateur ont été définis par la même variable, alors ils sont "liés". Ils ne sont pas indépendants, ils réagissent exactement de la même façon. Donc, il est impossible que le numérateur approche de la gauche alors que le numérateur approche de la droite, puisqu'ils sont la même seule et unique variable, donc ils approchent zéro de la même provenance. De plus, il est impossible que le numérateur approche plus rapidement que le dénominateur, pour la même raison !

Donc, si le numérateur est obligatoirement positif lorsque le dénominateur l'est, si le numérateur est obligatoirement négatif lorsque le dénominateur l'est et si le numérateur et le dénominateur approchent obligatoirement au même rythme, alors x/x = 1, même pour x = 0, sans l'ambiguïté de l'indéfini comme pour x/y.

Non ?

Merci.

[Monsieur23]

Aloha,

La limite quand x -> 0 de x/x n'est pas indéfinie, elle vaut bien 1 :happy2:

[TheReveller]

Oui, effectivement, mais mon questionnement se reporte à la généralisation de x/x (lorsqu'on ne le traite pas comme une limite) comparativement à x/y. Autrement dit, je comprendrais que z = x/y soit indéfini à (0,0), mais je ne comprends pas pourquoi y = x/x est indéfini à 0.

Pourquoi alors le graphique de y = x/x est discontinu (indéfini) à 0 ?

https://www.google.ca/#q=y+%3D+x%2Fx

Pourquoi alors un interpréteur mathématique comme celui-ci répond que x/x est indéfini à 0 ?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2Fx+where+x+%3D+0

[Monsieur23]

Oui, effectivement, mais mon questionnement se reporte à la généralisation de x/x (lorsqu'on ne le traite pas comme une limite) comparativement à x/y. Autrement dit, je comprendrais que z = x/y soit indéfini à (0,0), mais je ne comprends pas pourquoi y = x/x est indéfini à 0.

Pourquoi alors le graphique de y = x/x est discontinu (indéfini) à 0 ?

https://www.google.ca/#q=y+%3D+x%2Fx

Pourquoi alors un interpréteur mathématique comme celui-ci répond que x/x est indéfini à 0 ?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2Fx+where+x+%3D+0

On s'interdit de diviser par 0 dans tous les cas, car on voit que selon la situation ça peut donner un peu n'importe quoi.

Donc en théorie, la fonction f : x => x/x n'est pas continue en 0 car pas définie ; par contre, on peut la prolonger par continuité en posant f(0)=1.

La raison est la même pour Wolfram : on s'interdit de diviser par 0, donc le logiciel, bête et méchant, répond qu'il refuse de le faire.

[TheReveller]

Merci, mais pourquoi Wolfram Alpha offre parfois des résultats très avancés et formels pour certains cas de division par zéro, alors qu'il pourrait y avoir cette formalité que x/x vaut toujours 1.

Par exemple, "y/x where x = 0" donne l'infini complexe, tout comme "1/x where x = 0" :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%2Fx+where+x+%3D+0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx+where+x+%3D+0

Je pousse peut-être trop, je les contacterai. (Je blague)

[Monsieur23]

C'est effectivement étonnant que ça ne marche pas sur Wolfram… Contacte-les :lol3:

[TheReveller]

(Rien d'utile, à supprimer)

[Skullkid]

Bonjour, d'abord quelques considérations capitales à garder en mémoire :

- L'infini n'est pas un nombre, même si on peut lui généraliser certaines opérations.
- Wolfram Alpha est un programme informatique, pas un mathématicien.
- Faire une division ce n'est pas calculer une limite. C'est la raison pour laquelle, en toute rigueur, les formes indéterminées sont toujours censées être écrites entre guillemets. C'est d'ailleurs parce que cette convention (et la nuance qu'elle induit) est peu respectée que beaucoup de gens ont du mal à comprendre pourquoi "1^infini" est une forme indéterminée.

Diviser par 0 est une opération interdite (dans le sens où elle ne peut pas généraliser toutes les propriétés de la division classique), mais quand on écrit un programme on peut choisir différentes manières de faire face à cette interdiction.

Wolfram considère 1/0 comme un objet spécial qu'il appelle infini complexe et il lui assigne certaines propriétés (autrement dit, Wolfram fait le choix d'interpréter "effectue telle opération interdite" par "calcule telle limite"). Certains langages de programmation choisissent de le traîter comme un objet spécial qui s'appelle NaN et qui peut avoir d'autres propriétés. D'autres programmes encore vont simplement planter dès qu'ils rencontrent 1/0. Aucune de ces approches n'est plus correcte qu'une autre, c'est un choix à faire selon le contexte et c'est une affaire d'interprétation qui sort du domaine des maths proprement dites.

Après, le fait que Wolfram retourne "indeterminate" quand tu lui demandes "x/x where x = 0" est sans doute lié à la signification exacte de l'instruction "where". À première vue je dirais (je ne sais pas comment Wolfram s'arrange avec sa cuisine interne) que l'instruction "f(x) where x = 0" est équivalente à "remplace la variable x par le nombre 0 dans f(x)", c'est-à-dire "f(a)". Donc quand tu écris "x/x where x = 0", c'est comme si tu écrivais "0/0", et Wolfram est programmé pour répondre "indeterminate". Autrement dit, quand tu écris "where x = 0" tu fais perdre à x son éventuel statut de variable, pour lui donner le statut de nombre.

[TheReveller]

Merci, je comprends bien le concept d'outil mathématique qui n'est pas doté de l'intelligence d'un mathématicien. Une programmation encore plus robuste pourrait tenir compte de cette notion de variable pour x/x, mais probablement qu'elle impliquait trop de conditionnalités à ajouter au programme.

Si je philosophe un peu au sujet des formes indéterminées, ne devrait-il pas y avoir une nuance entre les "vraies" formes indéterminées et celles qui ne le sont pas à mon avis ?

Je ne suis pas mathématicien, mais je m'explique. (Je sais qu'il y en a sûrement déjà plusieurs pas très connaisseurs comme moi qui voudraient réinventer les maths, mais c'est simplement pour comprendre les nuances et justifications des formes indéterminées)

0^0 est une vraie forme indéterminée (bien que le débat lui donne de plus en plus la valeur 1), tout simplement par contradiction à la rencontre de deux règles : x^0 = 1 vs 0^x = 0

1^Inf = 1 considérant que la valeur 1 est un "un pur", car multiplier un vrai un un nombre infini de fois donnera toujours 1 selon tout logique et sans ambiguïté, donc 1^Inf n'est pas une "vraie" forme indéterminée
1^Inf est indéterminé si la valeur 1 est "approximée", puisque (1-)^Inf tend vers 0, alors que (1+)^Inf tend vers l'infini

0*Inf = 0 considérant que la valeur 0 est un "zéro pur", car additionner un vrai zéro un nombre infini de fois donnera toujours 0, donc 0*Inf n'est pas une "vraie" forme indéterminée
0*Inf est indéterminé si la valeur 0 est "approximée", puisque (0-)*Inf est une valeur inconnue négative, alors que (0+)*Inf est une valeur inconnue positive

0^Inf = 0 considérant que la valeur 0 est un "zéro pur", car multiplier un vrai zéro un nombre infini de fois donnera toujours 0, donc 0^Inf n'est pas une "vraie" forme indéterminée
0^Inf est indéterminé si la valeur 0 est "approximée", bref si le zéro est en fait un très petit nombre négatif alors (0-)^Inf est une vraie forme indéterminée, car bien qu'on sache que le résultat tendra vers 0, on ne sait pas s'il sera positif ou négatif, car l'infini n'a pas de notion pair/impair.
J'ai remarqué que 0^Inf n'est pas considéré indéterminé, mais je ne comprends pas pourquoi, car à mon avis (0-)^Inf n'est pas déterminé, oscillant entre le positif et le négatif...

Inf/Inf est une "vraie" forme indéterminée, considérant que le dénominateur et le numérateur sont indépendants (x/x avec x = Inf ne serait pas indéterminé, mais x/y avec x = Inf et y = Inf le serait)

Inf - Inf est une "vraie" forme indéterminée, considérant que les deux infinis sont indépendants (x - x avec x = Inf ne serait pas indéterminé, mais x - y avec x = Inf et y = Inf le serait)

[Skullkid]

Ta distinction entre ce que tu appelles "vraies" et "fausses" formes indéterminées est liée entre autres à une incompréhension des notations qu'on utilise pour les formes indéterminées (et au fait que, comme la plupart des gens, tu omets les guillemets et n'introduis du coup aucune différence d'écriture entre une forme indéterminée, qui n'est pas un objet mathématique à proprement parler mais une "notion" dépourvue de définition mathématique, et une opération, qui est un objet mathématique bien défini). Je vais commencer par définir le plus précisément possible ce dont on parle. Tu vas sans doute me trouver pointilleux mais regarde bien comment j'utilise les guillemets dans les deux paragraphes qui viennent.

Quand on écrit 0^0, on se réfère au résultat d'une opération qui consiste à élever le nombre 0 à la puissance le nombre 0. Cet objet mathématique est indéfini si on se limite à la définition classique de la puissance, tout simplement parce qu'il n'est pas couvert par cette définition. Soit on choisit de le laisser indéfini (c'est-à-dire qu'on considère que l'écriture 0^0 n'a pas de sens) soit on le définit par convention, auquel cas on choisit le plus souvent de définir 0^0 comme étant égal à 1.

Quand on écrit "0^0", on se réfère à la limite d'une fonction de la forme f^g en un point en lequel f et g tendent toutes deux vers 0. On a alors affaire à une indétermination parce qu'on a besoin d'informations supplémentaires sur f et g pour conclure, contrairement à d'autres cas où il n'y a pas besoin de telles informations (la somme d'une fonction f qui tend vers 3 en 0 et d'une fonction g qui tend vers 5 en 0 est une fonction qui tend vers 8 en 0, indépendamment de toute info supplémentaire sur f et g).

La nuance est subtile, mais elle est bien réelle. On peut faire une analogie en considérant les maths comme un langage. Un objet indéfini ce serait une expression qui n'existe pas, genre "schmilblick à pois vleus". Écrire "j'utilise la convention 0^0 = 1" c'est comme écrire "dans toute la suite, je definis un schmilblick à pois vleus comme étant un chandail qui coûte plus de 20€ au Carrefour de Rambouillet". En revanche, une forme indéterminée ce serait l'équivalent d'une expression ambigüe, dont le sens exact dépend du contexte. Quand tu dis "il est grand" ça ne va pas signifier la même chose selon que tu parles de la taille d'un gamin de 5 ans ou d'un mec de 20 ans.

Maintenant, parlons de tes 1 purs et de tes formes indéterminées qui n'en sont pas vraiment. Le contexte des formes indéterminées c'est un théorème que tu connais bien et qui s'appelle le théorème d'opérations sur les limites. Le théorème dit en gros que dans certaines situations, la limite d'une fonction résultant d'une opération entre fonctions est entièrment déterminée par les limites des fonctions opérandes. Les formes indéterminées sont les situations où le théorème ne s'applique pas.

Ainsi, quand on écrit "1^infini" on se réfère à limite de f^g quand f tend vers 1 et g tend vers l'infini, sans autre information sur f et g. Quand tu parles de 1 pur tu considères que f a d'autres propriétés que celle de tendre vers 1, donc tu n'es plus dans une situation "1^infini". Au passage, tu peux avoir des "1^infini" qui donnent autre chose que 0, 1 ou l'infini, la plus célèbre étant sans doute (1 + 1/x)^x qui tend vers e quand x tend vers +l'infini.

On peut aussi insister sur le fait qu'on parle bien de forme indéterminée, le mot "forme" est à entendre au sens "d'expression" ou "d'écriture". Un objet mathématique peut s'écrire de plusieurs façons différentes (20 peut aussi s'écrire 5*4 ou 10+10), certaines formes étant plus pratiques que d'autres selon le contexte (je préfère écrire 10 que 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1). Les formes indéterminées ce sont les formes qui ne sont pas pratiques quand on fait des calculs de limite. On "lève" les indéterminations en choisissant une forme plus pratique. La distinction que tu proposes entre "vraies" et "fausses" formes indéterminées est une distinction arbitraire basée sur la facilité de lever les indéterminations. Tes fausses formes sont les indéterminations que tu considères comme très simples à lever, celles que tu lèves "par réflexe", comme "calculer la limite de x/x quand x tend vers 0". Ce qui est une fausse forme pour toi ne le sera pas forcément pour quelqu'un d'autre. En donnant des cours particuliers j'ai vu des élèves bloquer sur le cas a = 0 dans l'exercice "discutez la valeur de la limite de a*n quand n tend vers l'infini selon les valeurs de a". D'un autre côté, n'importe quel étudiant en master de mathématiques considère le calcul de la limite de (x^2 - x)/(x + 1) quand x tend vers l'infini comme une évidence (enfin j'espère).

En espérant n'avoir pas été trop confus dans mes explications !

PS : j'aime bien utiliser des formulations du genre "c'est comme ça et puis c'est tout", mais comme l'expression "forme indéterminée" n'a pas de définition purement mathématique (un peu comme l'adjectif "canonique"), il s'agit ici de mon point de vue personnel (documenté, mais personnel quand même).