4 + 1 = 5 ?

[Lostounet]

Bonsoir. :)

Je me pose une question qui depuis un long moment, me turlupine !

Peut-on mathématiquement démontrer que 1 + 1 = 2?
4 + 2 = 6 ?
etc...

Ou s'agit-il de conventions, d'axiomes fixés par les mathématiciens (ce qui serait bien dommage !) ?

Merci de vos réponses ! :id:

[benekire2]

Bonjour en france :zen:

[Lostounet]

Bonjour la France :P

[benekire2]

C'est vrai que tu poses toujours les bonnes questions toi ...
C'est une construction de N qui veut ça ( De peano , tu pourra chercher) mais il existe d'autres constructions ou 1+1 est différent de 2 bien sur.

[abcd22]

Bonjour,

Ou s'agit-il de conventions, d'axiomes fixés par les mathématiciens (ce qui serait bien dommage !) ?

Oui, les notations et les noms des nombres sont des conventions. Il n'y a aucune raison mathématique pour qu'on n'ait pas décidé que l'ordre des chiffres soit 0 1 3 5 7 9 8 6 4 2 plutôt que 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. L'égalité 1 + 1 = 2 est un raccourci pour « le nombre entier qui vient après 1 est 2 ». Ça n'a pas été fixé par les mathématiciens mais par les personnes qui ont créé les symboles des chiffres.

[Nightmare]

Bonsoir.

Je me pose une question qui depuis un long moment, me turlupine !

Peut-on mathématiquement démontrer que 1 + 1 = 2?
4 + 2 = 6 ?
etc...

Ou s'agit-il de conventions, d'axiomes fixés par les mathématiciens (ce qui serait bien dommage !) ?

Merci de vos réponses ! :id:

Oui et non, les entiers naturels ont été définis "naturellement" par l'homme qui a eu besoin de compter. Ce n'est que "récemment" qu'on définit axiomatiquement les entiers naturels.

Comme le dit Benekire, Peano a axiomatisé les entiers et les a définit de manière récursives. Après avoir définit les opérations usuelles, Peano définit sucessivement les entiers avec la notion de successeur. 1 est le successeur de 0, 2 le successeur de 1 etc... bien sûr, il faudrait aussi "définir" la notion de successeur.

Tout se fait assez proprement en parlant de théorie des ensembles.

Bref, je te laisse taper Peano sur google mais c'est très théoriques et surement imbuvable, autant pour un collégien que pour un lycéen.

[Lostounet]

En fait, je sais que c'est l'Homme qui a inventé les chiffres 1, 2, 3, ... et c'est lui qui a décidé de l'ordre des chiffres (0, 1, 2, 3 au lieu de 0,2,3,1 par exemple, mais pour les mêmes nombres !).

En fait, j'ai wikipédié Peano, et tout ce que j'ai pu comprendre c'est le suivant:

# l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.
# Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
# Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
# Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.

Mais les A inversés, les crochets dédoublés, les griboullis en chinois, pas vraiment O_O

[Ben314]

Salut,
La question est un peu "vague" : dans l'égalité "4+2=6" , il y a les "symboles" 4 , + , 2 , = et 6.
Si on veut prouver ce résultat, il faut bien sûr avoir une définition de chacun de ces symboles.
Au niveau "profond" des maths, il y a un axiome qui dit que 0 existe (en fait c'est l'ensemble vide) et un axiome qui dit que tout nombre entier admet un suivant.
Le symbole 1 désigne alors le suivant de 0 (c'est ça définition)
Le symbole 2 désigne alors le suivant de 1 (c'est ça définition)
Le symbole 3 désigne alors le suivant de 2 (c'est ça définition)
etc...
On peut ensuite définir l'addition par une "formule de proche en proche" (ça s'appelle une récurence) :
Par définition n+0=n et n+suivant_de_m=suivant_de_n+m
Par exemple en utilisant cette définition, on a :
4+2=5+1=6+0=6

En résumé, il y a des "axiomes" (0 existe et le suivant d'un nombre existe plus un autre utile pour la "récurrence"), puis des définitions et enfin des théorème.

Pour moi 6=5+1 est la définition du symbole '6' alors que 6=4+2 est un (tout petit) théorème (on ne peut évidement pas avoir deux définition du symbole '6').
Par contre le fait que a+b=b+a est vraiment un théorème que l'on peut démontrer.

[benekire2]

pour tout
il existe

[benekire2]

Salut,
La question est un peu "vague" : dans l'égalité "4+2=6" , il y a les "symboles" 4 , + , 2 , = et 6.
Si on veut prouver ce résultat, il faut bien sûr avoir une définition de chacun de ces symboles.
Au niveau "profond" des maths, il y a un axiome qui dit que 0 existe (en fait c'est l'ensemble vide) et un axiome qui dit que tout nombre entier admet un suivant.
Le symbole 1 désigne alors le suivant de 0 (c'est ça définition)
Le symbole 2 désigne alors le suivant de 1 (c'est ça définition)
Le symbole 3 désigne alors le suivant de 2 (c'est ça définition)
etc...
On peut ensuite définir l'addition par une "formule de proche en proche" (ça s'appelle une récurence) :
Par définition n+0=n et n+suivant_de_m=suivant_de_n+m
Par exemple en utilisant cette définition, on a :
4+2=5+1=6+0=6

En résumé, il y a des "axiomes" (0 existe et le suivant d'un nombre existe plus un autre utile pour la "récurrence"), puis des définitions et enfin des théorème.

Pour moi 6=5+1 est la définition du symbole '6' alors que 6=4+2 est un (tout petit) théorème (on ne peut évidement pas avoir deux définition du symbole '6').
Par contre le fait que a+b=b+a est vraiment un théorème que l'on peut démontrer.

Même si c'est "un tout petit théorème" la puissance des maths c'est que on a donc réussi a démontrer ( théoriquement) une infinité de ces tout petits théorèmes :ptdr:

[benekire2]

Par contre j'ai une question pour ben :

Comment démontrer que a+b=b+a ? Je sais uniquement le démontrer sur C ( mais a partir de R bien sur, ce qui fait que c'est très trivial.)

[Ben314]

En fait, je sais que c'est l'Homme qui a inventé les chiffres 1, 2, 3, ... et c'est lui qui a décidé de l'ordre des chiffres (0, 1, 2, 3 au lieu de 0,2,3,1 par exemple, mais pour les mêmes nombres !).

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec le fait que l'homme à "inventé" les nombres et "inventé" l'ordre dans lesquels ils sont.
A mon sens, les nombres existaient bien avant l'homme et leur ordre aussi : même avec des corbeaux, on constate que s'il n'y a que 3 graines pour 4 corbeaux, il n'y a "pas assez" de graines.
Ce que l'homme à inventé c'est la façon de représenter les nombres, c'est à dire de les prononcer "cinq" ou "five" ou "fünf"... et de les écrire "" chez les babyloniens, "V" chez les romains, puis le chiffre "5" chez les indiens, puis chez les arabes, puis... chez nous.

[Ben314]

Comment démontrer que a+b=b+a ? Je sais uniquement le démontrer sur C ( mais a partir de R bien sur, ce qui fait que c'est très trivial.)

Vu la définition de l'addition :
1) si b est nul, a+b=a
2) si b est non nul, c'est le suivant d'un certain b' et a+b=suivant(a)+b'.
qui est une définition par récurrence (sur b), il faut bien sûr démontrer le résultat "a+b=b+a" par récurrence.

[benekire2]

d'accord. Et j'en déduis qu'après l'addition de Z, puis Q puis R se déduisent de celle de N ..

[Nightmare]

d'accord. Et j'en déduis qu'après l'addition de Z, puis Q puis R se déduisent de celle de N ..

Oui et non, tu remarqueras qu'on additionne pas aussi facilement les rationnels que les entiers ! Dans le sens où si l'on désigne un rationnel comme un couple (a,b) (numérateur et dénominateur), la somme de deux rationnels (a,b) et (c,d) n'est pas (a+c,b+d).

Par contre, effectivement on construit sur chacun des ensembles des lois à partir de la loi +, mais là les constructions deviennent un peu plus difficile, on va commencer à parler de relation d'équivalences.

[beagle]

Bonsoir.

Je me pose une question qui depuis un long moment, me turlupine !

Peut-on mathématiquement démontrer que 1 + 1 = 2?
4 + 2 = 6 ?
etc...

Ou s'agit-il de conventions, d'axiomes fixés par les mathématiciens (ce qui serait bien dommage !) ?

Merci de vos réponses ! :id:

Il me semble que les enfants de maternelle
apprennent d'emblée la bijection
qui va du 5-1 au 4-2
par une correspondance terme à terme
ils savent donc démontrer que le 4 et 2 est la mème quantité que le 5 et 1.
Comme le disait Marx:"que l'on nous apporte un mome de maternelle"!

[Ben314]

Comme le disait Marx:"que l'on nous apporte un mome de maternelle"!

Lequel de Marx ?

[beagle]

Lequel de Marx ?

l'original doit ètre:
"un enfant de 5 ans comprendrait ça!
Allez me chercher un enfant de 5 ans"

C'était repris dans un magasine sérieux La Recherche, il y avait une rubrique de vulgarisation qui commençait par cette "maxime".
C'est de Groucho Marx, le plus connu, il y en a un autre d'important?

[Ben314]

C'est de Groucho Marx, le plus connu, il y en a un autre d'important?

Quand même...,
Il y a aussi Chico, Harpo, Gummo et Zeppo qui sont connus !

[benekire2]

sans oublier carl :doh: