!, !, !...

par **Lostounet** » 27 Fév 2010, 16:25

Salut !

Je m'amusais il y a peu avec ma calculatrice, et j'ai effectué les calculs suivants avec la touche '!' (factorielle?).

5! = 120 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
2! = 2 = 2 * 1
3! = 6 = 3 * 2 * 1

J'ai compris le principe, jusque-là.

Mais voulant cherche la petite bête, j'ai tapé:

0,5! ~ 0.88622692545275801364908374167057 :hein:
0,3! ~ 0.89747069630627718849375495477148 :hein:
1,5! ~ 1.3293403881791370204736256125059 :hein:

Comment expliquer ce phénomène surnaturel, ou devrais-je dire, mathématique :zen:

Tout ce que je sais, c'est qu'on peut l'utiliser pour les probabilités.
D'avance merci pour vos explications :)

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 16:28

Salut,

c'est un peu compliqué à ton niveau mais disons qu'on peut prolonger la notion de factorielle à tout nombre réel positif (même complexe) à l'aide d'une fonction qu'on appelle la fonction Gamma d'Euler.

Si cela t'intrigue énormément, tu peux cliquer sur ce lien mais c'est de niveau post-bac.

par **Billball** » 27 Fév 2010, 16:29

le ptit hic, c'est qu'on définit le factorielle comme le produit d'ENTIERS consécutifs donc je sais pas si ça a un réel sens lorsque les nombres sont décimaux!

et en proba, c'est tjs des nombres entiers qu'on utilise, au moins jusqu'au bac de méme que ce qui précéde (aprés je sais pas ce que ca donne en postbac)

par **Lostounet** » 27 Fév 2010, 16:32

Merci pour les explications, Nightmare :)

Oui, c'est vrai ça !

Pourquoi la calculatrice ne mettrait-elle pas 'maths-error', 'syntax error' ?
L'existence de cette fonction 'Gamma'...

Ça montre que ça a un certain sens, parce que, comme me le dit Svear très souvent: On ne crée jamais d'outils inutiles !

par **Zweig** » 27 Fév 2010, 17:16

Au passage, la fonction Gamma permet de justifier le fait que 0! = 1 : ce n'est pas vraiment une convention comme on peut le dire au Lycée, ça se justifie par le calcul.

On montre que la fonction

vérifie pour tout naturel

:

. En particulier,

et on montre d'un autre côté que

.

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 17:24

Ou alors dans le sens inverse, c'est justement parce qu'on a posé la convention 0!=1 que la fonction gamma coïncide en tous les entiers avec la factorielle :lol3:

par **benekire2** » 27 Fév 2010, 19:49

intéressant comme réflexion lostounet, bravo.

Je me rappelle étant petit avoir tape cela et quelques temps avant : 2^1.5
puis 2^pi ...

Mais la fonction Gamma , c'est vraiment hors programme pour toi je crains. Mais au moins tu le sais.

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 23:56

Pour continuer sur 0!=1, combien il y a-t-il de permutations de l'ensemble vide ? :lol3:

par **benekire2** » 28 Fév 2010, 08:34

imo il n'y a qu'une seule bijection de l'ensemble vide dans lui même.

par **Nightmare** » 28 Fév 2010, 15:00

Exact ! Comment le démontrer (quel rapport avec 0!=1 ?)

par **benekire2** » 28 Fév 2010, 16:46

Le lien c'est que n! représente le nombre de bijections de A dans A avec un ensemble A dénombrable tel que Card(A)=n

par **benekire2** » 28 Fév 2010, 16:50

Pour la démo, je dirais qu'il n'y a qu'une seule "application" de ¤ dans ¤

avec ¤ l'ensemble vide .

Après c'est pas une démo, j'en conviens ...

par **Nightmare** » 28 Fév 2010, 17:25

benekire2 a écrit:Le lien c'est que n! représente le nombre de bijections de A dans A avec un ensemble A dénombrable tel que Card(A)=n

Pourquoi "dénombrable" ?

Pour ce qui est de la démo, ben, comme tu le dis, c'est pas vraiment une démonstration :lol3: Pourquoi n'y a-t-il qu'une seule application du vide dans lui même?

par **benekire2** » 28 Fév 2010, 17:51

en fait c'est intuitif mon raisonnement.

Comme l'ensemble vide il n'y a rien dedans, il n'y a pas de permutations , car rien a permuter pour moi :happy2:
mais en ce qui concerne une preuve rigoureuse ...

PS: Ensemble dénombrable parce que sinon ça n'a pas vraiment de sens, il y a une infinité de permutations dans un ensemble non dénombrable ( je crois ...)

par **Nightmare** » 28 Fév 2010, 17:55

benekire2 a écrit:Comme l'ensemble vide il n'y a rien dedans, il n'y a pas de permutations , car rien a permuter pour moi :happy2:
mais en ce qui concerne une preuve rigoureuse ...

Il faudrait savoir, il y en a une permutation ou il y en a pas ?

PS: Ensemble dénombrable parce que sinon ça n'a pas vraiment de sens, il y a une infinité de permutations dans un ensemble non dénombrable ( je crois ...)

On parle d'ensemble finis ici (de cardinal n comme tu l'as écrit) donc en particulier (au plus) dénombrables !

par **Ben314** » 28 Fév 2010, 18:00

Benekire, pour t'aider un peu, le fond du problème, ici, c'est de commencer par se poser la question :
"c'est quoi la définition carré-carré d'une application (ou une fonction si tu préfère)",
En particulier y-a-t'il une (des) applications de l'ensemble vide dans un autre ensemble (vide ou pas) ? si oui combien ?
Y a-t'il des applications d'un ensemble non vide dans l'ensemble vide ?

P.S. Pour la définition "carré-carré" de ce qu'est une application, c'est pas évident, il ne faut évidement pas répondre "c'est un 'truc' qui aux éléments de l'ensemble de départ 'associe' des éléments de l'ensemble d'arrivé" à cause des mots "truc" et "associe" qui ne sont pas clairement définis.

par **Nightmare** » 28 Fév 2010, 18:02

Pour compléter un peu ton post pertinent (comme la plupart d'ailleurs, désolé pour la flagornerie :lol3: ), il faut vraiment voir une application comme une relation, entre deux ensembles.

par **benekire2** » 28 Fév 2010, 18:37

oui, je vois , mais en même temps je ne vois rien.

Une application pour moi c'est associer à un élément d'un ensemble un unique élément d'un autre ensemble.

Par définition je dirais qu'il n'y a aucune autre "combinaison" que "rien" dans "rien"

Enfin, c'est clair dans le sens où c'est "intuitif" mais ça l'est plus du tout au niveau mathématique.

par **Nightmare** » 28 Fév 2010, 18:41

Ben c'est un peu ça, en gros, on peut parler de relation qui à aucun élément de l'ensemble vide associe aucun élément de l'ensemble vide ! Cette relation définit en fait une application (bon, pour le prouver formellement, il faudrait utiliser la définition formelle d'une application, ce n'est pas difficile mais je ne pense pas non plus que ce soit utile de te remplir la tête avec des définitions formelles !). Cette application est une permutation (pourquoi?).

Autre manière de le voir, on peut définir une application par son graphe. L'unique application du vide dans lui même est alors l'application qui a un graphe... vide :lol3:

par **Nightmare** » 28 Fév 2010, 18:42

Tout découle du fait que l'assertion

est toujours vraie.

!, !, !...

!, !, !...

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