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[brhum.moh]

Hello there,

[Ben314]

Changer simultanément les signes de ne change rien au problème et permet de considérer .
Changer le signe de ne change rien non plus vu la symétrie de l'intervalle et permet de considérer
Si sur alors et deux cas se présentent :

Soit et est croissante sur donc
où
On a donc affaire à un polyèdre convexe dont on cherche le point le plus éloigné de l'origine.
C'est forcément un des sommets et on vérifie aisément que c'est , qui donne

Soit , et ) montre que le maximum est atteint pour , et donc (ce qui est géométriquement parlant assez évident...)

P.S. J'ai cherché un bon moment, mais je ne trouve pas de preuves "en claquant des doigts" alors que le résultat est extrêmement naturel...

[Ben314]

En fait, j'ai un peu plus simple...
Toujours en posant , si on regarde les triplets tels que , et soient tout les trois dans cela forme un parallélépipède (car les 3 vecteurs normaux forment une base de ) dont le point le plus éloigné de l'origine est évidement un des 8 sommets :
1)
2)
3)
Le point le plus éloigné est donc et on vérifie aisément que vérifie bien les conditions demandées.