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par **Archytas** » 13 Oct 2014, 14:46

Salut,
Dans le cours on a un théorème qui dit que les intervalles sont les seuls connexes de R. Sauf qu'on a pas montré que tous les intervalles sont connexes. Du coup j'ai essayé de bidouiller un truc mais je veux être sur que ça marche (et comme sur internet j'ai pas trouvé ça je me dis qu'il y a peut être une couille).
On prend I un intervalle et on le suppose partitionné en deux ouverts disjoints O1 et O2. Si on prend a dans O1 et b dans O2 (avec a < b quitte à échanger O1 et O2 et à supposer que I n'est pas un singleton) et ensuite on pose s = sup(t dans [a,b] tel que t est dans O1) et suivant si s est dans O1 ou O2 on obtient une contradiction grâce au fait qu'ils sont ouverts ?
ça marche ou pas ?
Merci d'avance !

par **Ben314** » 13 Oct 2014, 15:36

Ca a l'air correct,
modulo le fait que ton "à supposer que I n'est pas un singleton" ne sert à rien.
Ce qu'il te faut pour justifier l'existence de a et b, c'est de supposer que tu as partitioné I en deux ouverts disjoints non vides ( I non connexe)

par **adrien69** » 13 Oct 2014, 15:37

Je ne vois pas en quoi consiste ta contradiction vu que tu ne l'as pas écrite. Mais si tu veux faire un truc comme ça, il vaut mieux définir la fonction indicatrice de O1 et montrer qu'elle est continue sur tout I si I n'est pas connexe. Mais elle est clairement discontinue à la frontière de O1 (à montrer)

Sinon plus simple : un intervalle est connexe par arc. Donc connexe. CQFD.

par **Ben314** » 13 Oct 2014, 15:42

adrien69 a écrit:Sinon plus simple : un intervalle est connexe par arc. Donc connexe. CQFD.

Oui, sauf que la preuve la plus courte pour montrer que "connexe par arc => connexe", ça consiste à partir du fait que, si f est continue de [0,1]->X (espace topo.) alors f([0,1]) est connexe en temps que... image d'un connexe...

par **adrien69** » 13 Oct 2014, 20:41

Ben314 a écrit:Oui, sauf que la preuve la plus courte pour montrer que "connexe par arc => connexe", ça consiste à partir du fait que, si f est continue de [0,1]->X (espace topo.) alors f([0,1]) est connexe en temps que... image d'un connexe...

Ok, mais bon c'est le propre d'un théorème d'éviter d'en refaire la démonstration à chaque fois non ?

par **Archytas** » 16 Oct 2014, 06:56

Adrien : on a commencé par parler de connexité et à ce moment là du cours on avait pas encore abordé la connexité par arc... Et ben l'image continue d'un connexe est connexe c'est le théorème qui suit celui que je voulais démontrer !

par **adrien69** » 16 Oct 2014, 10:25

Alright then!

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