Cardinal quantitatif et autres travaux mathématiques (2)

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 16:40

Je le répète encore et le répèterai encore et encore :


La notion de bijection est insuffisante pour comparer le nombre d'éléments de 2 ensembles infinis :

Tout juste donne-t-elle un ordre de grandeur de la quantité, mais pas la quantité elle-même.


, car on peut mettre et, en bijection,


donc et sont 2 infinis du même ordre (de grandeur),

mais



beagle
Habitué(e)
Messages: 8179
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 10 Aoû 2015, 16:45

Matheux philosophe a écrit:Je le répète encore et le répèterai encore et encore :


La notion de bijection est insuffisante pour comparer le nombre d'éléments de 2 ensembles infinis :

Tout juste donne-t-elle un ordre de grandeur de la quantité, mais pas la quantité elle-même.


, car on peut les mettre en bijection,

donc et sont 2 infinis du même ordre (de grandeur),

mais


Ben pour quelqu'un qui n'y connait rien, au hasard, moi par exemple,
cela me convient bien.
Maintenant pour les mathématiciens vrais, le problème est de savoir si ce que tu définis et développe leur parle.Et pour le moment c'est comme qui dirait qu'ils ne te suivent pas.
Donc tu les as perdu où?

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 17:15

beagle a écrit:Maintenant pour les mathématiciens vrais, le problème est de savoir si ce que tu définis et développe leur parle.Et pour le moment c'est comme qui dirait qu'ils ne te suivent pas.
Donc tu les as perdu où?


Ils n'ont ni les "couilles" ni la volonté pour tenter de et chercher à définir une telle notion, qui donne beaucoup voire énormément de fil à retordre et sur laquelle, le plus souvent, on peut se casser la tête, longuement et durement, sans aucun résultat et en faisant du surplace, et qui pose de grandes difficultés conceptuelles, certaines :

Ils préfèrent rester campés sur leurs lauriers et rester aveuglés par le cardinal équipotentiel ou de Cantor qu'ils sacralisent plus que tout, et ce en dépit du bon sens, là où (suppression d'un court passage obsolète pour lequel Denis Feldmann s'est payé ma tête) l'intuition commune {marche|fonctionne} :

Cf. Le cas d'inclusions strictes d'ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection.
Modifié en dernier par Matheux philosophe le 09 Juil 2016, 21:28, modifié 2 fois.

bolza
Membre Relatif
Messages: 449
Enregistré le: 04 Juin 2015, 12:15

par bolza » 10 Aoû 2015, 17:27

beagle a écrit:Je suis d'accord.
J'ai très peu lu sur le sujet, mais le peu de Cantor qu'il m' a été possible de comprendre m'a enthousiasmé.
Maintenant la bijection est une notion assez ensembliste, non?
Or A inclu dans B et il existe du B qui n'est pas A, ceci me parle comme quelque part A moins grand que B.Et du peu que j'ai diagonalisé ce fil de discussion, il m'a semblé que l'auteur disait OK la bijection définit quelque chose, je garde,, mais je vais y rajouter l'inclusion ou la non inclusion.
Ceci étant j'ai du mal avec le langage maths donc l'auteur du fil ne parlait pas forcément de ce que cela m'a évoqué dans ma tète.



Pour reprendre l'image de ces deux même droite que j'ai décrite précédemment,
on peut mettre des étiquettes sur chacun des points.

Disons sur celle dont les points sont espacés de 1 centimètre, on mets aux points les étiquette
"0", "2", "4", ....

Et la droite sur laquelle les points sont séparer d'un demi centimètre on étiquette les points "0", "1", "2", "3", ...

Donc sur la deuxième droite, on l'étiquette 1 qui apparaît, mais qui n'apparaît pas sur la première.
Par contre toutes les étiquettes de la première droite apparaissent sur la deuxième droite.
En ce sens, l'ensemble des étiquettes de la première est inclus dans l'ensemble des étiquettes de la deuxième.
Mais pour passer de la première droite à la deuxième, je n'ai fait que déplacer (pour les resserrer)
des points, je n'en ai ni enlevé, ni rajouté. Et la façon d'étiqueter ces points ne change rien à leur nombre non plus.

La plupart des amalgames viennent du fait que l'on attribut a des ensembles infinis des propriétés d'ensembles finis qu'ils n'ont pas.
Et ce que cherche à faire l'auteur du sujet, c'est d'essayé de donné des propriétés d'ensembles finis aux ensembles infinis.

beagle
Habitué(e)
Messages: 8179
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 10 Aoû 2015, 17:33

"La plupart des amalgames viennent du fait que l'on attribut a des ensembles infinis des propriétés d'ensembles finis qu'ils n'ont pas.
Et ce que cherche à faire l'auteur du sujet, c'est d'essayé de donné des propriétés d'ensembles finis aux ensembles infinis."

d'accord, mais partir de la bijection c'est idem il me semble,
on utilise une propriété des ensembles finis.

Donc perso je recommence, A inclu dans B et il existe du non A, ben bijection ou non,
je comprends que l'on veuille essayer de traiter avec l'infini cette notion de base des ensembles finis.

Après, que ce qui est définit par l'auteur de ce fil ne tienne pas la route est autre chose,
je n'ai pas les moyens de juger son boulot.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 17:56

bolza a écrit:La plupart des amalgames viennent du fait que l'on attribut a des ensembles infinis des propriétés d'ensembles finis qu'ils n'ont pas.
Et ce que cherche à faire l'auteur du sujet, c'est d'essayé de donné des propriétés d'ensembles finis aux ensembles infinis.


(EN REALITE [09/07/2016], l'axiome du choix n'intervient pas et n'est pas en cause, dans l'affaire : Je me suis fait berner par Denis Feldmann)

On peut, déjà, étendre des propriétés connues avec les ensembles finis, à une classe d'ensembles bornés de ,dans le système :

Cf. le PDF de Michel Coste : http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/gf-4/.

Et je pense qu'on peut en étendre, à tous les ensembles bornés, dans et, même, à tous les ensembles non bornés et, de façon générale, à tous les ensembles, dans un système , à définir.
Modifié en dernier par Matheux philosophe le 21 Juil 2016, 22:30, modifié 2 fois.

bolza
Membre Relatif
Messages: 449
Enregistré le: 04 Juin 2015, 12:15

par bolza » 10 Aoû 2015, 18:48

beagle a écrit:"La plupart des amalgames viennent du fait que l'on attribut a des ensembles infinis des propriétés d'ensembles finis qu'ils n'ont pas.
Et ce que cherche à faire l'auteur du sujet, c'est d'essayé de donné des propriétés d'ensembles finis aux ensembles infinis."

d'accord, mais partir de la bijection c'est idem il me semble,
on utilise une propriété des ensembles finis.

Donc perso je recommence, A inclu dans B et il existe du non A, ben bijection ou non,
je comprends que l'on veuille essayer de traiter avec l'infini cette notion de base des ensembles finis.

Après, que ce qui est définit par l'auteur de ce fil ne tienne pas la route est autre chose,
je n'ai pas les moyens de juger son boulot.



La bijection c'est ce qui permet de "faire coïncider" A avec B.

En gros c'est ce qui permet de changer les étiquettes pour que A correspondent avec B.
Par exemple si tu prend les ensembles C={1,2,3} et D={2,5,6}, il y a des éléments de C qui ne sont
pas dans D et des élément de D qui ne sont pas dans C et pourtant, ils ont le même nombre d'éléments.

Tu me dira : oui, mais C n'est pas inclus dans D et D n'est pas inclus dans C.

Oui c'est vrai. Mais 1,2,3 sont juste des noms. la bijection permet de "renommer" les éléments.
Ici 1 va être renommer en 2, 2 va être renommer en 5 et 3 va être renommer en 6.

La bijection utiliser ici est la fonction qui à 1 associe 2, à 2 associe 5 et à 3 associe 6. (il y en a d'autres).

Tu me diras C et D ici sont fini, peut on faire pareil avec des ensembles infinis ?

étant données que la bijection, n'est finalement qu'une fonction de "renommage",
elle ne change en rien le nombre d'élément dans un ensemble (fini ou pas).


Ce que dit Cantor, c'est qu'on peut renommé les entiers, pour obtenir l'ensemble des entiers pairs.
mais on ne peut pas renommé les entiers de façon à avoir l'ensemble des nombres réels.

Je repose une de mes questions que j'ai appelé "question philosophique"

Est ce que cela a un sens de dire que N* a un élément de plus que N ?
Sur un ensemble fini "un de plus" je vois ce que c'est : si l'ensemble a n éléments,
alors "1 de plus" c'est n+1.
Mais si l'ensemble est infini ? a-t-on réellement grossi N* en "ajoutant" l'élément 0 ?
Sachant que je peux renommé les éléments de N* de façon à obtenir N ?

Edit: et justement, ce renommage est possible parce que N et N* sont infinis,
il serait impossible dans le cas fini.


Vous me direz, oui, mais il y a le 0 qui est dans N, mais pas dans N*, donc on pourrait définir
une fonction qui rendrait compte de cela. Une façon de dire cela c'est que N n'est pas inclus dans N*.

Remarquer que l'ensemble C dont j'ai parler plus haut n'est pas inclus dans l'ensemble D,
et pourtant ils ont le même nombre d'élément. Et ceci simplement parce que si C n'est pas inclus dans D
c'est parce que il y a des élément dans C qui n'ont pas le même nom que les éléments de D.

Mais finalement quel rapport entre le nom des éléments d'un ensemble, et son nombre d'élément ?

(En fait si il y en a un, par exemple l'ensemble {x,x} ne contient qu'un seul élément, mais ceci n'affecte en rien ce qui nous préoccupe).

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 19:02

Récapitulons :

(EN REALITE [09/07/2016], l'axiome du choix n'intervient pas et n'est pas en cause, dans l'affaire : Je me suis fait berner par Denis Feldmann)

1) Dans , est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de , d'une classe particulière".

2) Dans , ne peut être une mesure, au sens usuel, sur , car elle ne vérifie pas la - additivité, en général.

Remarque : L'insuffisance de l'axiome du choix peut en être la cause.

3) Sur , à cause du paradoxe de Banach-Tarski, et en particulier de l'axiome du choix, n'est pas invariante par rotation, ce qui aboutit à une contradiction, donc n'existe pas, sur , dans .
Modifié en dernier par Matheux philosophe le 21 Juil 2016, 22:30, modifié 2 fois.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 19:38

bolza a écrit:La bijection c'est ce qui permet de "faire coïncider" A avec B.

En gros c'est ce qui permet de changer les étiquettes pour que A correspondent avec B.
Par exemple si tu prend les ensembles C={1,2,3} et D={2,5,6}, il y a des éléments de C qui ne sont
pas dans D et des élément de D qui ne sont pas dans C et pourtant, ils ont le même nombre d'éléments.

Tu me dira : oui, mais C n'est pas inclus dans D et D n'est pas inclus dans C.

Oui c'est vrai. Mais 1,2,3 sont juste des noms. la bijection permet de "renommer" les éléments.
Ici 1 va être renommer en 2, 2 va être renommer en 5 et 3 va être renommer en 6.

La bijection utiliser ici est la fonction qui à 1 associe 2, à 2 associe 5 et à 3 associe 6. (il y en a d'autres).

Tu me diras C et D ici sont fini, peut on faire pareil avec des ensembles infinis ?

étant données que la bijection, n'est finalement qu'une fonction de "renommage",
elle ne change en rien le nombre d'élément dans un ensemble (fini ou pas).


Ce que dit Cantor, c'est qu'on peut renommé les entiers, pour obtenir l'ensemble des entiers pairs.
mais on ne peut pas renommé les entiers de façon à avoir l'ensemble des nombres réels.

Je repose une de mes questions que j'ai appelé "question philosophique"

Est ce que cela a un sens de dire que N* a un élément de plus que N ?
Sur un ensemble fini "un de plus" je vois ce que c'est : si l'ensemble a n éléments,
alors "1 de plus" c'est n+1.
Mais si l'ensemble est infini ? a-t-on réellement grossi N* en "ajoutant" l'élément 0 ?
Sachant que je peux renommé les éléments de N* de façon à obtenir N ?

Edit: et justement, ce renommage est possible parce que N et N* sont infinis,
il serait impossible dans le cas fini.


Vous me direz, oui, mais il y a le 0 qui est dans N, mais pas dans N*, donc on pourrait définir
une fonction qui rendrait compte de cela. Une façon de dire cela c'est que N n'est pas inclus dans N*.

Remarquer que l'ensemble C dont j'ai parler plus haut n'est pas inclus dans l'ensemble D,
et pourtant ils ont le même nombre d'élément. Et ceci simplement parce que si C n'est pas inclus dans D
c'est parce que il y a des élément dans C qui n'ont pas le même nom que les éléments de D.

Mais finalement quel rapport entre le nom des éléments d'un ensemble, et son nombre d'élément ?

(En fait si il y en a un, par exemple l'ensemble {x,x} ne contient qu'un seul élément, mais ceci n'affecte en rien ce qui nous préoccupe).


Ca suffit, on arrête de blablater pour rien, puisque la notion de bijection n'est, de toute façon et de toute évidence, pas la bonne, pour comparer les nombres d'éléments ou les quantités d'éléments de 2 ensembles infinis, tout juste, permet-elle de comparer les ordres de grandeur des nombres d'éléments ou des quantités d'éléments de ces 2 ensembles.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 19:57

Peut-être que le problème, est soluble, mais pas, humainement, càd qu'il est peut-être hors de notre portée et de nos capacités.

bolza
Membre Relatif
Messages: 449
Enregistré le: 04 Juin 2015, 12:15

par bolza » 10 Aoû 2015, 20:01

Matheux philosophe a écrit:Ca suffit, on arrête de blablater, puisque la notion de bijection n'est, de toute façon et de toute évidence, pas la bonne, pour comparer les nombres d'éléments ou les quantités d'éléments de 2 ensembles infinis, tout juste, permet-elle de comparer les ordres de grandeur des nombres d'éléments ou des quantités d'éléments de ces 2 ensembles.



C'est à beagle que je répond, pas à vous. Et d'où vient ce "de toute évidence" ?
je n'ai vu aucun arguments de votre part qui permettent de le justifier.

beagle
Habitué(e)
Messages: 8179
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 10 Aoû 2015, 20:13

Matheux philosophe a écrit:Peut-être que le problème, est soluble, mais pas, humainement, càd qu'il est peut-être hors de notre portée et de nos capacités.


Bah le problème est de faire une construction cohérente déjà pour commencer,
et ensuite qui permette d'ètre utilisée pour d'autres trucs = quels services cela va rendre,
on fait quoi avec,
non?

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 20:14

bolza a écrit:C'est à beagle que je répond, pas à vous. Et d'où vient ce "de toute évidence" ?
je n'ai vu aucun arguments de votre part qui permettent de le justifier.



Cf. Le cas d'inclusions strictes d'ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection :

La quantité d'éléments d'un ensemble strictement inclus dans un autre, ne peut être que strictement plus petite que celle de ce dernier, et, en particulier, si ces ensembles sont infinis et peuvent être mis en bijection.

Fin de partie.

bolza
Membre Relatif
Messages: 449
Enregistré le: 04 Juin 2015, 12:15

par bolza » 10 Aoû 2015, 20:26

Matheux philosophe a écrit:Cf. Le cas d'inclusions strictes d'ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection :

La quantité d'éléments d'un ensemble strictement inclus dans un autre, ne peut être que strictement plus petite que celle de ce dernier, en particulier, si ces ensembles sont infinis et peuvent être mis en bijection.

Fin de partie.


As tu une preuve de cela ?

Tout mon "blabla" explique justement le contraire, l'a tu lu au moins ? y a t-il un de mes arguments
qui ne te semble pas correcte ? si oui alors le(s)quel(s) ?

Pour l'instant de ta part il n'y a eu que des affirmations gratuites sans aucune argumentations
où bien des affirmations qui n'ont pas de sens.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 20:33

beagle a écrit:Bah le problème est de faire une construction cohérente déjà pour commencer,
et ensuite qui permette d'ètre utilisée pour d'autres trucs = quels services cela va rendre,
on fait quoi avec,
non?


Cela permet de quantifier le nombre d'éléments (ou de points), de toute partie mixte faite de matière continue de densité uniforme et de matière discrète, et de comparer, suivant ce critère, les parties entre elles.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 10 Aoû 2015, 20:36

bolza a écrit:As tu une preuve de cela ?

Tout mon "blabla" explique justement le contraire, l'a tu lu au moins ? y a t-il un de mes arguments
qui ne te semble pas correcte ? si oui alors le(s)quel(s) ?

Pour l'instant de ta part il n'y a eu que des affirmations gratuites sans aucune argumentations
où bien des affirmations qui n'ont pas de sens.


Même, si ce que tu dis est vrai, tu ne peux pas en conclure (pour autant) que ce que je dis est faux.

Les 2 notions peuvent être compatibles :

La notion de cardinal équipotentiel n'exclut pas celle de cardinal quantitatif, et vis versa, après, tout n'est question que de définition de ce qu'on entend par quantité d'éléments :

Si on entend par quantité d'éléments, le cardinal équipotentiel, alors le cardinal quantitatif n'est pas la quantité d'éléments et inversement, et je ne compte pas me faire piéger à ce jeu là.

Sinon, on peut, aussi, poser en axiome, le fait que si un ensemble est, strictement, inclus dans un autre, alors, nécessairement, sa quantité d'éléments est, strictement, plus petite que celle de l'autre ou alors modifier l'axiome du choix, pour que cet axiome devienne une propriété qui soit vérifiée.

Bien sûr, la notion de cardinal équipotentiel est parfaitement définie, alors que celle de cardinal quantitatif, reste à définir :

Ce qui donne, pour le moment, l'avantage à la première.

(RAJOUT IMPORTANT [30/07/2016] : La notion de cardinal quantitatif est, au moins, définissable sur la classe des sous-ensembles compacts, convexes, connexes de , de classe par morceaux, mais on ne sait pas la définir pour tous les sous-ensembles de , mais peut-être qu'on arrivera à la définir sur des classes de sous-ensembles de , de plus en plus larges, sans jamais parvenir à épuiser le sujet.

Le cardinal équipotentiel est, quant à lui, une notion bien définie pour tous les sous-ensembles de .)


Et peut-être même que la notion de cardinal quantitatif est définissable, mais pas humainement :

Dans ce cas, elle nous serait inaccessible, et nous continuerions d'utiliser la notion de cardinal équipotentiel, qui elle nous est accessible et ne serait pas la meilleure, et nous continuerions d'appeler, à tort, ordre de grandeur de la quantité, la quantité elle-même et de les confondre, à tort, alors que la notion de cardinal quantitatif serait la meilleure notion et la notion optimale de quantité d'éléments, bien qu'inaccessible, pour nous humains.

Rappel :

1) Dans , est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de , d'une classe particulière".

2) Dans , ne peut être une mesure, au sens usuel, sur , car elle ne vérifie pas la - additivité, en général.

Remarque : L'insuffisance de l'axiome du choix peut en être la cause.

(EN REALITE [08/07/2016], l'axiome du choix n'intervient pas et n'est pas en cause, dans l'affaire : Je me suis fait berner par Denis Feldmann)

3) Sur , à cause du paradoxe de Banach-Tarski, et en particulier de l'axiome du choix, n'est pas invariante par rotation, ce qui aboutit à une contradiction, donc n'existe pas, sur , dans .

Donc, il faut, obligatoirement, modifier l'axiome du choix et changer de système.



Dans , ne vérifie pas la -additivité, en général, sur

car dans ,

et qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et donc si était -additive,

on aurait

et on aurait aussi


Or


et donc .


Contradiction :


donc, dans , n'est pas -additive,


donc ce n'est pas une mesure au sens usuel, dans .


Il y a de fortes chances, qu'on doive donner des axiomes de normalisation et que dans le cadre de ma théorie, certaines partitions de , ne soient plus acceptables.
Modifié en dernier par Matheux philosophe le 30 Juil 2016, 20:44, modifié 4 fois.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 11 Aoû 2015, 18:19

NB : Ce message était obsolète.
Modifié en dernier par Matheux philosophe le 21 Juil 2016, 14:55, modifié 2 fois.

bolza
Membre Relatif
Messages: 449
Enregistré le: 04 Juin 2015, 12:15

par bolza » 12 Aoû 2015, 00:58

Matheux philosophe a écrit:Il y a de fortes chances, qu'on doive donner des axiomes de normalisation et que dans le cadre de ma théorie, certaines partitions de , ne soient plus acceptables.


Vous voulez dire que dans votre théorie certaines partitions de R+ (de la théorie actuelle) ne seront plus des partitions de R+ ??

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 12 Aoû 2015, 12:45

bolza a écrit:Vous voulez dire que dans votre théorie certaines partitions de R+ (de la théorie actuelle) ne seront plus des partitions de R+ ??


Non, je dis qu'il ne faut s'appuyer que sur celles qui sont acceptables, pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction :

Tout dépend, en particulier, des ensembles sur lesquels sont indexées ces partitions.

Matheux philosophe
Membre Relatif
Messages: 283
Enregistré le: 06 Aoû 2015, 23:46

par Matheux philosophe » 12 Aoû 2015, 13:57

NB : Ce message était obsolète.
Modifié en dernier par Matheux philosophe le 21 Juil 2016, 14:59, modifié 3 fois.

 

Retourner vers ⚜ Salon Mathématique

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 8 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite