Caractérisation séquentielle épointée

[Nightmare]

Hello,

On sait que dans un espace métrique, une fonction est continue si et ssi pour tout l et pour toute suite (xn) convergeant vers l, f(xn) converge vers f(l).

Est-ce que cela reste vrai en retirant les hypothèses "vers l" et "vers f(l)" ?

Autrement dit : Si f est telle que pour toute suite (xn) convergente, f(xn) converge, alors f est continue?

:happy3:

[Luc]

Dans un espace métrique ou dans un espace topologique (éventuellement séparé)?

[Nightmare]

Dans R pour commencer :P

[Luc]

Dans R pour commencer

Il me semble que dans un espace métrique il y a unicité de la limite. (Faire un raisonnement par l'absurde et utiliser l’inégalité triangulaire).

En revanche je viens de voir une subtilité : s'agit-il de la version locale (en un point) ou globale (sur un ouvert, ou pour tout point d'une partie) de la continuité?

[Nightmare]

Pourquoi veux-tu distinguer local et global? A priori ça nous importe pas ici.

En gros, il s'agirait de montrer que si f préserve la convergence, alors elle préserve la limite des suites convergentes.

[Luc]

Pourquoi veux-tu distinguer local et global? A priori ça nous importe pas ici.

En gros, il s'agirait de montrer que si f préserve la convergence, alors elle préserve la limite des suites convergentes.

Oui mais tel quel, l’énoncé de la continuité ne va pas, il est ecrit "f est continue ssi pour toute suite convergeant vers l , ..."
Il faut écrire "f est continue en l ssi ..." (version locale) ou bien "f est continue ssi pour tout l, ..." (version globale).

[Nightmare]

Ah oui tu as raison j'ai oublié le "pour tout l".

[Luc]

La question est donc de savoir : les définitions suivantes de la continuité sont-elles valables?

- locale : pas vraiment de sens a donner.
- globale : f de X dans Y est continue ssi pour toute suite convergeant dans X, f(x) converge dans Y".

- Si X et Y sont des espaces métriques, alors il y a unicité de la limite des suites a valeurs dans X (resp. Y). On considère donc une suite convergeant dans x et l sa limite. f est continue donc converge dans Y. Notons m sa limite. A-t-on m=f(l)? En considérant la suite constante égale a l, il suffit pour cela de montrer que si deux suites et ont la même limite dans X, alors et ont la même limite dans Y.

[Nightmare]

il suffit pour cela de montrer que si deux suites et ont la même limite dans X, alors et ont la même limite dans Y.

Ouaip, mais plus facile à dire qu'à faire a priori!

[Luc]

Ouaip, mais plus facile à dire qu'à faire a priori!

j'avoue! on prend quelle définition de la continuité?

[lapras]

Mais si on a u_n et v_n deux suites qui CV vers x, alors si w_n est la suite telle que pour les indices pairs c'est u et pour les indices impairs c'est v, alors w_n CV vers x et f(w_n) CV vers un certain l, qui est nécessairement lim f(u_n) = lim f(v_n)

On a juste besoin que l'espace soit séparé et qu'il y ait une base dénombrable de voisinage pour tout point.

[Nightmare]

C'est net!

Merci

[Luc]

Mais si on a u_n et v_n deux suites qui CV vers x, alors si w_n est la suite telle que pour les indices pairs c'est u et pour les indices impairs c'est v, alors w_n CV vers x et f(w_n) CV vers un certain l, qui est nécessairement lim f(u_n) = lim f(v_n)

On a juste besoin que l'espace soit séparé et qu'il y ait une base dénombrable de voisinage pour tout point.

Voilà l'argument! Il faut construire la suite "intercalée" de et . J'y avais vaguement pensé mais je ne m'étais pas rendu compte que ça marchait! Merci :zen:

[Nightmare]

Du coup, cette caractérisation épointée est presque plus simple à manipuler (dans le sens (....) => continue) que la pointée, puisque maintenant on a même plus à se soucier de la limite des f(xn).

Pourquoi n'apparaît-elle dans aucun bouquin?