Adhérence,intérieur,frontière,point d'accumul

[hasnaemath]

Bonjour tout le monde,

j'ai le problème de déterminer l'adhérence, l'intérieur, la frontière et l'ensemble de points d'accumulation et l'ensemble des points isolés d'un ensemble, svp pouvez vous m'aider à maîtriser ces notions.

je sais que: si A est fermé implique que A=adh(A)
et si A est ouvert implique que A=int(A)
et que adh(A) est le plus petit fermé
tel que
et que int(A) est le plus grand ouvert tel que
et que
quelque soit
Fr(A)= adh(A)-int(A)
=

Exemple pour la topologie usuelle : A=[0,1[ U
adh(A)=[0,1] U
int(A)= ]0,1[
accum(A)=[0,1]
Iso(A)=
Fr(A)=


Mais pour :
C=2N (avec N est l'ensemble des entiers naturels)
- quelles sont leurs adhérences ? leurs points d'accumulation ? leurs frontières ? et leurs points isolés ? et comment savoir que ces ensembles sont ouverts ou fermés ?


on sait que



si on a un ensemble fermé, comment trouver son intérieur et lorsqu'on a un ensemble ouvert comment peut-on trouver son adhérence et son ensemble des points d'accumulation et les points isolés

Svp aidez moi parce que j'aurai un examen cette semaine

[pascal16]

la frontière, tu ne la définies pas par adhérence privée de l'intérieur ?

[hasnaemath]

Oui Pascal16, c'est déjà mentionné

[Landstockman]

Alors

[pascal16]

A vérifier, je ne pratique plus trop la topo :

pour B
- quelles sont leurs adhérences ? leurs points d'accumulation ? leurs frontières ? et leurs points isolés ? et comment savoir que ces ensembles sont ouverts ou fermés ?
-> chaque point "1/n" est le seul dans ]1/n-1/n²; 1/n+1/n²[ donc n'est voisinage d'aucun de ses points.
donc
-> n'est pas un ouvert
-> n'a que des points isolés (et d'intérieur vide)
-> 0 est point d'accumulation car toute intersection d'un voisinage de {0} privé de {0} contient des éléments de B (donc on rajoute {0} dans l'adhérence)
-> n'est donc pas un fermé (soit car une suite d'éléments de B ne converge pas dans B soit que son complémentaire dans R ne peut pas être un ouvert)

C=2N : a les mêmes propriétés topologiques que N, en particulier, fermé.

[hasnaemath]

Je vous remercie beaucoup M. Pascal16 pour votre réponse claire et pertinente, je veux juste savoir est ce que l'intérieur de N égale à l'ensemble vide ou pas.

[Sylviel]

Oui. Pour avoir un intérieur il faut mettre une boule, donc un nombre continu de point.

[hasnaemath]

Merci sylviel

Pour la topologie discrète : quel que soit A C X on a : int(A)=A= adh(A), car tout sous ensemble de X est ouvert et par conséquent tout sous ensemble est un fermé, est ce vrai ou pas ??
Et pour la topologie grossière: quel que soit A C X on a : int(A)= ensemble vide, Adh(A)= X , est ce vrai aussi ou pas ?

Svp aidez moi à bien comprendre et Merci d'avance

[Landstockman]

C'est bien ça !
Attention pour la topologie grossière, si A=X, l'interieur c'est évidemment X

[Landstockman]

C'est bien ça !
Attention pour la topologie grossière, si A=X, l'interieur c'est évidemment X et si A est vide son adhérence est vide