x+y+z=1

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Posted by: nekros

Salut,

Soient 3$x, 3$y et 3$z trois réels positifs tels que \fbox{3$x+y+z=1}.

Montrer que \fbox{3$0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \frac{7}{27}}

A+


Posted by: aviateurpilot

Citation:
moyen \ arithmetique \le moyen \ geometrique


(xy+yz+zx)-2xyz=(1-x)(1-y)(1-z)-xyz=(1-x)(1-y)(1-z)+(x+y-1)(y+z-1)(z+x-1)\le \(\frac{1-x+1-y+1-z}{3}\)^3+\(\frac{x+y-1+y+z-1+z+x-1}{3}\)^3=\(\frac{2}{3}\)^3+\(\frac{-1}{3}\)^3=\frac{7}{27}


Posted by: nekros

Bravo, tout est correct.
Sauf à la première ligne, erreur de frappe : c'est -2xyz

A+


Posted by: aviateurpilot

j'ai modifié



Posted by: Zweig

OIM 1984 me semble-t-il ... Autre manière de faire :

On pose p = x + y + z = 1, q = xy + xz + yz, r = xyz

L'inégalité à démontrer se réécrit alors :

0\leq q-2r\leq\frac{7}{27}

L'inégalité de Schur s'énonce comme suit :

x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq0 pour tout réel t et réels positifs x, y,z

Pour t = 0 nous avons : x^0(x-y)(x-z)+y^0(y-x)(y-z)+z^0(z-x)(z-y)\geq0\Leftrightarrow pq-9r\geq0

Pour t = 1 nous avons : x^{1}(x-y)(x-z)+y^{1}(y-x)(y-z)+z^{1}(z-x)(z-y)\geq0\Leftrightarrow p^{3}-4pq+9r\geq0

De ces deux inégalités on en déduis un encadrement pour q et r :

\frac{4pq-p^{3}}{9}=\frac{4q-1}{9}\leq r\leq\frac{pq}{9} (1)

\frac{9r}{p}=9r\leq q\leq\frac{p^{3}+9r}{4p} (2)

De (2) nous avons q\geq9r et puisque 9r\geq2r alors par transitivité, q\geq2r\Leftrightarrow q-2r\geq0

L'inégalité à démontrer se réécrit aussi 27q-54r-7\leq0

De (1) nous avons 27q -54r-7\leq27q+(6-24q)-7=3q-1

Or il est bien connu que 3q\leq p^2=1 d'où 3q-1\leq0 et ainsi par transitivité, 27q-54r-7\leq0

Ainsi nous avons prouvé que 0\leq q-2r\leq\frac{7}{27}


Posted by: ThSQ

Jolies solutions astucieuses. A noter que ça se torche bêtement et rapidement en homogénéisant et développant (ça prend 10 min à tout casser et ça fait 40+ min de gagner pour chercher les exos suivants ...).


Posted by: Zweig

Je profite de ton intervention pour te poser une question : je retrouve souvent dans les inégalités le terme "homogénéiser" : qu'est-ce que cela veut dire ?

Merci d'avance.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Zweig
"homogénéiser"


C'est tout remettre avec des degrés homogènes en utilisant les contraintes données.

Par exemple si x+y = 1, alors x² + y² + x + y s'homogénéise en x²+y² + (x+y)².
Ca permet d'appliquer des résultats qui tuent ce genre l'inég comme Muirhead

( http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead's_inequality )










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