Bonjour,voilà un exercice d'olympiad On écrit au tableau les 2001 nombres 1;1/2; 1/3...1/2001. On efface deux de ces nombres, x et y, et on écrit alors le nombre x+y+xy. On effectue 2000 fois cette opération ; il reste un nombre au tableau. Quels sont les nombres qui peuvent, ainsi, être obtenus ?
Merci d'avance pour vos solutions
Posted by: BancH
Je trouve un seul nombre écrit au tableau, 2001.
Posted by: BancH
Pour utiliser les nombres, il faut exactement effectuer opérations, donc, quels que soient les et choisis à chaque opération, le résultat final sera le même.
La suite de nombres est:
Pour calculer le résultat final on peut donc effectuer les opérations dans n'importe quel ordre. Si l'on prend l'ordre le plus simple:
...
On tombe alors sur une suite logique et on déduit que le nombre au tableau après les 2000 opérations est égal au nombre de nombres au départ.
Posted by: aviateurpilot
je vien de reveiller
oui banch le resultat c le meme dans tous les cas mais il faut montrer ça
on remplace x et y par x+y+xy=(x+1)(y+1)-1=XY-1
si à chaque fois qu'on fait une operation en ajoute 1
en dois seulent faire le produit
alors si on efface X et Y (on suppose qu'on a ajouté 1) on les remplece par XY-1+1 (on a ajouté +1 à XY-1)
et on repete cette operation 2000 fois
et a la fin on retranche 1
donc dans tous les cas on va surement trouver
(1+1)(1+1/2)(1+1/3)........(1+1/2001)=2*(3/2)*(4/3)*(5/4)........(2002/2001)=2002
donc on obtien 2002-1=2001
nombres, il faut exactement effectuer 
opérations, donc, quels que soient les 
et 
choisis à chaque opération, le résultat final sera le même.
