Mathématiques - x^y = y^x

x^y = y^x
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Posted by: montsegur

x^y = y^x pour x différent de y :

y a-t-il des solutions et si oui combien ?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

x^y = y^x pour x différent de y :

y a-t-il des solutions et si oui combien ?

Oui, il y a des solutions. et il y en a une infinité. Je me restreins aux solutions pour lesquelles x et y sont positifs :

$\Large y^x = x^y$ est équivalent à $\large x\times \ln(y) = y\times \ln(x)$ soit à : $\Large \frac{\ln(x)}{x}=\frac{ln(y)}{y}$

La fonction f définie sur R+* par $\Large f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ est croissante sur $\Large ]0,e]$ elle croît de $\Large -\infty$ à $\Large \frac{1}{e}$ . Elle est ensuite décroissante sur $\Large [e,+\infty[$ : elle décroît de $\Large \frac{1}{e}$ à 0.

Par conséquent quel que soit $\Large \alpha$ tel que $\Large 0 < \alpha < \frac{1}{e}$ , la droite d'équation $\Large y = \alpha$ coupe le graphe de f en deux points distincts d'abscisses $\Large x_1$ et $\Large x_2$ et l'on constate que $\Large \frac{\ln(x_1)}{x_1}=\frac{\ln(x_2)}{x_2}$ , ce qui montre que $\Large x_1^{x_2} = x_2^{x_1}$ .

Un exemple est $\Large 2^4 = 4^2$ , solution positive du problème plus restreint $\Large x^4 = 4^x$ posé et résolu récemment dans ces colonnes !

Posted by: montsegur

Bravo Quidam.
C'est exactement ce que j'ai trouvé,
avec la même démonstration,
il y a de cela plusieurs années.
Je suis quand même stupéfait de voir que deux personnes,
ne se connaissant pas, trouvent exactement la même démonstration,
d'autant plus que je n'ai jamais publié la mienne.
J'ai trouvé aussi une autre démonstration qui abouti au même résultat.
La réponse étant exacte et dédinitive,
il n'y a plus rien à ajouter sauf les félicitations.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

Bravo Quidam.
C'est exactement ce que j'ai trouvé,
avec la même démonstration,
il y a de cela plusieurs années.
Je suis quand même stupéfait de voir que deux personnes,
ne se connaissant pas, trouvent exactement la même démonstration,
d'autant plus que je n'ai jamais publié la mienne.
J'ai trouvé aussi une autre démonstration qui abouti au même résultat.
La réponse étant exacte et dédinitive,
il n'y a plus rien à ajouter sauf les félicitations.

Merci ! Navré de n'avoir pas été aussi dithyrambique envers toi, que moi à ton égard dans http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=13436
Peut-être la prochaine fois...

Posted by: montsegur

Tu as bien fait de parler franchement.
Cela permet de savoir ce que pense réellement les personnes.
De plus, cela ne me gêne pas du tout, au contraire.
Je ne suis pas susceptible, j'accepte volontier la critique
et je reconnais mes erreurs. Personne n'est infaillible.
En toutes circonstances, il convient de pratiquer l'humilité.

Posted by: montsegur

J'ai oublié de demander ceci :
Y a-t-il un extémum (min ou max) pour x^y = y^x
Si oui, pour quelles valeurs de x et y
et quelle est la valeur de cet extremum ?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

J'ai oublié de demander ceci :
Y a-t-il un extémum (min ou max) pour x^y = y^x
Si oui, pour quelles valeurs de x et y
et quelle est la valeur de cet extremum ?

Lorsque $\Large \alpha \to 0$ , $\Large x_1 \to 1^+$ et $\Large x_2 \to \infty$ . Par conséquent $\Large x_1^{x_2} = x_2^{x^1} > x^2$ et $\Large x_1^{x_2} \to \infty$ . Il n'est pas borné.

Je ne parviens pas à trouver comment étudier la fonction $\Large x_1^{x_2}$ proprement. Cependant il semble d'après les essais que j'ai faits que cette fonction est décroissante. Elle semble donc décroître de $\Large +\infty$ à $\Large e^e = 15.15...$ , valeur qui apparaît donc comme un minimum. Mais je ne l'ai pas démontré ! Alors, c'est peut-être plus compliqué...

Posted by: montsegur

La réponse est exacte.
Il y a minimum pour x = y = e
et donc ce minimum est e puissance e.

Encore bravo et félicitations.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

La réponse est exacte.
Il y a minimum pour x = y = e
et donc ce minimum est e puissance e.

Encore bravo et félicitations.

L'as-tu démontré ou simplement constaté sur quelques essais comme moi ? Si tu l'as démontré, je suis curieux de savoir comment !

Merci d'avance !

Je rectifie en précisant quand même que puisque le problème consiste à trouver deux nombre distincts tels que $\Large x^y = y^x$ , la réponse x=e, y=e n'est pas valable (si l'on autorise x et y à être égaux, alors n'importe quel réel positif vérifie $\Large x^x=x^x$ !). Par conséquent l'ensemble des solutions n'a pas de minimum. On peut s'approcher autant que l'on veut de $\Large e^e$ mais on ne l'atteint pas, en tous cas pas si ma fonction est effectivement décroissante, ce que je n'ai pas prouvé !

Posted by: montsegur

Je l'ai démontré, mais il y a de cela très longtemps.
Il faut donc que j'aille fouiller dans mes archives
manuscrites. Je vais voir et je te tiens au courant.

Posted by: montsegur

J'ai fouillé mes archives manuscrites et je n'ai pas retrouvé
la démonstration. J'ai tellement d'archives un peu partout que
j'ai bien de la difficulté à retrouver un sujet que j'ai étudié.
Si lors d'autres fouilles, je retrouve la démonstration, je te
ferais signe. Curieusement, je ne me souviens plus comment
j'ai fait et je suis aujourd'hui incapable de refaire la démonstration.
En vieillisant le cerveau lent...

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

En vieillisant le cerveau lent...

À qui le dis-tu !

Posted by: montsegur

Ok, alors nous sommes de vieux croutons...
Mais... chuuuttt... il ne faut pas le répéter...

Posted by: montsegur

Quidam dit :
L'as-tu démontré ou simplement constaté sur quelques essais comme moi ?
Si tu l'as démontré, je suis curieux de savoir comment !

Réponse :
Après avoir fait d'autres recherches dans mes archives,
je n'ai pas retrouvé le manuscrit. J'ai retrouvé des notes,
jointes à un programme d'une ancienne calculatrice programmable,
qui n'apportent rien de nouveau.
J'ai fait les calculs entre 1976 et 1979 lorsque je travaillais
aux télécommunications. Il est fort possible que ma démonstration
du minimum soit seulement numérique, mais je ne me souviens pas
très bien. Tant que je n'aurais pas retrouvé le manuscrit,
je serais dans l'incertitude.
Donc la réponse reste en attente...

Posted by: Mikou

quel est le pb ? je suis un peu perdu. Est-ce trouver le minimum de $f(x) =x^y$ ou x et y sont deux reels positifs et disctincts ? si oui il est evident que le minimum est 0, si x,y sont non distincts alors on a
$f(x) = e^{xlnx}$ on peut etudier seulement $<br /> gx = xlnx$ puis deriver pour montrer que le minimum est atteint pour x = $\frac{1}{e}$

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Mikou

quel est le pb ? je suis un peu perdu. Est-ce trouver le minimum de $f(x) =x^y$ ou x et y sont deux reels positifs et disctincts ? si oui il est evident que le minimum est 0, si x,y sont non distincts alors on a
$f(x) = e^{xlnx}$ on peut etudier seulement $<br /> gx = xlnx$ puis deriver pour montrer que le minimum est atteint pour x = $\frac{1}{e}$

Tu fais erreur, il ne s'agit pas de cela !

Il faut trouver si l'ensemble des valeurs de x^y parmi les couples x,y de nombres distincts tels que x^y = y^x a un minimum et lequel. Je conjecture que la fonction qui à un nombre alpha associe la valeur x1^x2, x1 et x2 étant les deux nombres positifs vérifiant ln(x)/x = alpha, ce qui a pour conséquence que x1^x2=x2^x1, est décroissante. Si c'est le cas, alors lorsque alpha croît de 0 à 1/e, x1^x2 décroît de + l'infini à e^e, mais ne l'atteint pas. e^e serait alors une borne inférieure, mais pas un minimum.

Tout cela repose sur une conjecture, alimentée par quelques test numériques, et non sur une démonstration : telle est la question ! Si tu as une démonstration, elle sera la bienvenue !

Posted by: Mikou

il 'suffit' de montrer que x^y = x^y si et seulement si lnx / x = ln y / y est minimum non ?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Mikou

il 'suffit' de montrer que x^y = x^y si et seulement si lnx / x = ln y / y est minimum non ?

Ben non, cela ne suffit pas, et ce n'est pas nécessaire non plus !

Posted by: yos

Bonjour.
Ca vole haut dans ce café.
Ce qui est intéressant aussi, c'est d'étudier la courbe de R+² d'équation x^y=y^x.
A noter qu'elle contient la demi-droite D d'équation y=x et qu'elle est symétrique par rapport à D. Et à part ça???

Posted by: Mikou

ironie cher yos ?
la pb est donc pour quel valeures x,y reeles distinctes a ton legalite x^y = y^x verifiée tel que x^y soit maximum : reponse il ny en a pas !

Posted by: montsegur

il y a un minimum de x^y = y^x lorsque x = y = e
Dès que x est différent de y avec :
x compris entre 1 et e et y compris entre e et l'infini
ou l'inverse en permutant x et y
x^y = y^x est supérieur à e^e
C'est une constataion numérique.
Le problème est de le démontrer.

Posted by: yos

Citation:

Posté par Mikou

ironie cher yos ?

Pas le moins du monde pour une fois.

Citation:

la pb est donc pour quel valeures x,y reeles distinctes a ton legalite x^y = y^x verifiée tel que x^y soit maximum : reponse il ny en a pas !

Non je ne parle pas de maximum, simplement de l'ensemble des couples (x,y) de réels positifs vérifiant x^y=y^x. Ca fait bien une courbe. A quoi elle ressemble?

Posted by: montsegur

Je propose une piste :

z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z

Donc : [ln(x)]/x = [ln(y)]/y = a

D'où : ln(x) = a x et ln(y) = a y

Donc : ln(z) = y ln(x) = axy = x ln(y)

D'où : z = e^(axy)

Z' = y/x + ln(x) = x/y + ln(y) = 0

entraîne alors : ln(x) = -y/x et ln(y) = -x/y = 1/ln(x)

Donc : ay = ln(y) = 1/ln(x) = 1/ax d'où : y = 1/ (a²x)

D'où : z = e^(axy) = e^(ax/a²x) = e^(1/a)

Posons : y1 = ln(x) et y2 = a x ; alors : y'1 = 1/x et y'2 = a

Donc pour y'1 = y'2 on obtient : 1/x = a et donc : x = 1/a

D'où : ln(x) = ax entraîne ln(1/a) = a (1/a) = 1 donc 1/a = e

et a = 1/e ce qui entraîne que z = e^e

Au point x = e ; y1 = ln(x) = ln(e) = 1 et y2 = ax = (1/e) e = 1

Sur un graphique, on voit bien que y2 = ax ne coupe y1 = ln(x)

que pour a inférieur à 1/e

Autre graphique : y1 = a et y2 = x^(1/x)

ln(y2) = (1/x) ln(x) = z d'où : z' = (1/x²) [ ln(x) - 1 ]

z' = o entraîne x = e

y2 passe par un maximum = e^(1/e) pour x = e

Maintenant, y1 = a ne coupe y2 que pour a inférieur à e^(1/e)

Mais y2 a une asymptote en y2 = 1

Donc pour y2 compris entre 1 et e^(1/e)

l'axe des x est partagé en deux régions :

A^B = B^A pour lesquels :

A est compris entre 1 et e

B est compris entre e et l'infini

Posted by: montsegur

Dans le post précédant, j'ai fait les calculs en considérant

que x et y étaient indépendants ce qui est faux car x et y sont liés.

Je reprends donc les calculs avec y = f(x) :

z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z

Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :

y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)

Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e

Donc Z = ln(z) est extrémal pour : x = y = e et x = y = 1/e

Mais Z = ln(z) donc Z' = z'/z et alors : z' = z Z' soit :

z' = z [ y' ln(x) + y/x ] = z [ x/y) y' + ln(y) ]

Comme z n'est jamais nul, les extréma de Z sont aussi les extréma de z

x^y = y^x implique que x et y sont liés et donc que y = f(x)

Le calcul de z' = 0 par Z' = 0 nous donne ln(y) = 1/ln(x)

et donc nous en déduisons que y = f(x) = e^(1/ln(x))

x = y = 1/e donne Z = - e et z = (1/e)^(1/e)

x = y = e donne Z = + e et z = e^e

Graphiquement : x = y = e est valide,

alors que x = y = 1/e ne convient pas

Il faut donc justifier que seul : x = y = e est valide

pour que x^y = y^x soit minimum.

Posted by: yos

Citation:

Posté par montsegur

Il faut donc justifier que seul : x = y = e est valide

pour que x^y = y^x soit minimum.

$e^e>2^2>1^1$ ...
Bizarre ton minimum.

Posted by: montsegur

Yos dit : Bizarre ton minimum.

Ta réponse ne convient pas

car x et y ne sont pas indépendants

mais liés par x^y = y^x

Posted by: yos

Citation:

Posté par montsegur

Yos dit : Bizarre ton minimum.

Ta réponse ne convient pas

car x et y ne sont pas indépendants

mais liés par x^y = y^x

Selon toi 2^2 n'est pas égal à 2^2 ??

Posted by: montsegur

Hé Yos...

Agites les boyaux de la tête, les neurones, les synapses...

Tu ne vois clair dans ce problème.

Posted by: yos

Citation:

Posté par montsegur

Hé Yos...

Agites les boyaux de la tête, les neurones, les synapses...

Tu ne vois clair dans ce problème.

Ca doit être ça.

Posted by: montsegur

J'ai modifié et amélioré le post n° 24

Posted by: yos

Citation:

d'où : ln(y) = 1/ln(x)

Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e

T'es sûr de ça?

On trouve y= exp(1/lnx).

Je conviens que e et 1/e sont solutions mais le fait que ce soient les seules est pas immédiat. Cela dit ton minimum je le répète est peut-être bien obtenu en 1/e mais sûrement pas en e.

Posted by: montsegur

Yos dit : T'es sûr de ça?

Réponse :

y = f(x) = e^(1/ln(x)) est la conséquence

du calcul des extréma de : x^y = y^x

Bien sûr que : ln(y) = 1/ln(x) est satisfait

par d'autres valeurs que e et 1/e

J'ai donc eu tord de dire que :

Cette égalité n'est satisfaite que pour : x = y = e et x = y = 1/e

Mais une étude graphique m'a orienté vers ces valeurs

car elles sont des cas particuliers simples.

Les tracés de y1 = ln(x) et de y2 = a x ( avec a = 1/e voir post 23 )

nous montrent que seul e convient. Mais c'est une constattion

graphique, pas une démonstration mathématique.

Donc Yos, d'accord pour ta remarque. Nous devons encore chercher.

Posted by: montsegur

Voilà enfin la démonstration :

z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z

Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :

y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)

et alors : y = f(x) = e^[1/ln(x)] que nous reportons dans z = y^x

Donc : z = { e^[1/ln(x)] }^x = e^[x/ln(x)] d'où : ln(z) = x/ln(x)

z'/z = 1/ln(x) + ( x ) [ -1/(ln(x))² ] ( 1/x ) = [ 1/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ]

z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = 0 entraîne : 1 = 1/ln(x) et donc x = e

Donc : ln(y) = 1/ln(x) = 1/ln(e) = 1 cela donne y = e

Voilà enfin la démonstration que x = y = e

Mais maintenant, il faut prouver que nous avons un minimum.

Pour cela, il nous faut calculer z"

si z" est positif pour x = e alors z est minimum

si z" est négatif pour x = e alors z est maximum

z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = z [ 1/ln(x) - 1/ln²(x) ] = z v

z" = v z' + z v' mais pour x = e on a z' = 0 donc z" = z v'

v = 1/ln(x) - 1/ln²(x) donc v' = -1/[x (ln(x)²)] + 2/[x (ln(x))^3]

et v' = [ 1/(x (ln(x)²) ] [ -1 + 2/ln(x) ] = 1/e pour x = e

Donc : z" = z v' = z/e mais z = e^[x/ln(x)] = e^e pour x = e

Finalement z" = (e^e)/e qui est positif. Donc z = x^y = y^x

est bien minimum pour x = y = e CQFD

Posted by: montsegur

J'ai vérifié sur une calculatrice graphique que :

z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x

passe bien par le minimum e^e pour x = e

Donc la démonstration sur le post précédent est exacte.

L'affaire est donc classée.

Posted by: montsegur

Quidam ne poste plus. Que se passe-t-il ?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

Quidam ne poste plus. Que se passe-t-il ?

Pourquoi ? Est-ce une obligation ?

Quand j'aurai quelque chose qu'à tort ou à raison je jugerai intéressant à dire, je le dirai...

En général, quand je n'ai rien à dire, je ne dis rien !

Il se trouve que je n'ai pas toujours du temps... Je n'ai pas encore pris le temps d'analyser tout ce qui a été dit : donc je n'ai rien à dire pour le moment !

Navré de te décevoir !

Il n'est pas exclu que j'accepte ta solution : dans ce cas, $\Large e^e$ serait une borne inférieure ; s'il y a une borne inférieure et qu'elle n'est pas atteinte, alors il n'y a pas de minimum ! Mais il faut que j'aie le temps de la lire (et de la digérer) !!! En tout état de cause, je rejette définitivement la solution $\Large e^e$ comme minimum, car on cherche les $\Large x^y=y^x$
avec x différent de y !

Posted by: montsegur

Je ne suis pas du tout déçu.
Simplement je pensais que tu t'étais absenté
ou ennuis de santé. Bref, alors tout va bien.

Je constate que nous n'avons la même approche.
Mais, si tu trouves mieux, alors c'est d'accord.

Posted by: yos

Salut Montsegur.
Pourrais-tu reformuler la question? Pas la solution, mais bien la question!
Tu parles de minimum de x^y pour (x,y) décrivant l'ensemble des couples de réels >0 qui vérifient x^y=y^x.
e^e ne peut être un minimum global car e^e>&^1 par exemple.
S'agissant d'un minimum local, c'est encore faux car par exemple la suite (1+1/n)^n tend vers e et il est clair que $[(1+1/n)^n]^{(1+1/n)^n}<e^e$ .
Reste la possibilité dont parle quidam : se limiter à l'ouvert $x\neq y$ . Mais cela ne peut pas conduire à un minimum comme e^e.
Bref, tu sembles avoir prouvé quelquechose mais je ne sais pas quoi.
Merci pour tes éclaircissements.

Posted by: montsegur

Salut Yos,

Il est fort possible que ce que j'ai demandé soit mal formulé.
Je ne suis pas un professionnel des mathématiques.
Je laisse ce que j'ai écrit en l'état.
S'il y a des professionnels qui trouvent que ce que
j'ai écrit est mal formulé et mal démontré,
cela ne me surprendrait pas.
Je compte donc sur les professionnels
pour apporter les corrections qui s'imposent.
Cela apportera de la clarté là où il y a du brouillard.
Simple autodidacte, je ne suis pas assez compétent
pour formuler autrement que ce que j'ai écrit.
Toute correction sera la bienvenue.

Posted by: montsegur

Yos dit :

e^e ne peut être un minimum global

Réponse :

Tu parles comme si x et y étaient indépendants.

Ils ne le sont pas puisqu'ils sont liés par x^y = y^x

x est différend de y sauf pour le minimum où ils sont égaux à e.

Donc ta remarque n'est pas justifiée.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

Quidam ne poste plus. Que se passe-t-il ?

Bon, j'arrive !

Citation:

Posté par montsegur

z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z
Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :
y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)
et alors : y = f(x) = e^[1/ln(x)] que nous reportons dans z = y^x
Donc : z = { e^[1/ln(x)] }^x = e^[x/ln(x)] d'où : ln(z) = x/ln(x)

Je suis d'accord avec le début. Tu cherches à quelle condition Z' sera nul, parce que tu cherches un minimum. Bon ! Tu en déduis que s'il existe x0 qui annulle Z' alors, nécessairement, en ce point x0, on aura ln(z0) = x0/ln(x0). Je suis d'accord.

Mais tu continues par :

Citation:

Posté par montsegur

z'/z = 1/ln(x) + ( x ) [ -1/(ln(x))² ] ( 1/x ) = [ 1/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ]
z' = [ z/ln(x) ] [ 1-1/ln(x) ] = 0 entraîne : 1 = 1/ln(x) et donc x = e
Donc : ln(y) = 1/ln(x) = 1/ln(e) = 1 cela donne y = e
Voilà enfin la démonstration que x = y = e

Et là, je ne suis plus d'accord !
La relation, vraie pour x0, ln(z0) = x0/ln(x0), n'est pas nécessairement vraie pour tout x ! Chercher à annuller la dérivée de la fonction $\Large \phi(x)=\frac{x}{\ln(x)}$ est sans rapport avec notre problème ! Admettons un instant que le minimum que nous cherchons est effectivement $Z_{min}=\Large e^e$ et qu'il est obtenu pour $\Large x_{min}=e$ . Tu pourrais dire, par exemple, que $\Large Z_{min }=e^{x_{min}}$ ! Quel sens cela aurait-il de dériver la fonction $\Large \psi(x)=e^x$ , sous prétexte que, par hasard, $\Large \psi(x_{min})=Z_{min}$ , et de chercher pour quelle valeur de x elle s'annulle ? La dérivée de $\Large \psi$ n'est jamais nulle ! Pourquoi ne pas prendre aussi la fonction $\Large \xi(x)=x^e$ , car il est également vrai que $\Large \xi(x_{min}) = Z_{min}$ ? La dérivée de $\Large \xi$ est $\Large x^{e-1}$ qui s'annulle en x=0 ! Quel rapport avec notre problème ? Aucun !

Le fait que ln(z0) = x0/ln(x0) ne t'autorise pas à dériver la fonction $\Large \phi$ , qui par hasard vérifie $\Large \phi(x0)=z0$ !

Par ailleurs, je rappelle, à nouveau, que ton problème spécifie bien x et y différents !

Citation:

Posté par yos

Reste la possibilité dont parle quidam : se limiter à l'ouvert $x\neq y$

J'en parle parce qu'il n'est question que de cela depuis le début ! Si l'on étudie l'évolution de $\Large x^x$ , on sait bien que cette fonction est minimale pour $\Large x=\frac{1}{e}$ , égale à $\Large e^{-\frac{1}{e}}$ , inférieur à 1 (d'ailleurs $\Large 1^1=1$ !) a fortiori inférieur à $\Large e^e$ dont nous nous échinons depuis une semaine à montrer que c'est une borne inférieure de $\Large x^y$ pour les couples (x,y) de nombre différents. Par conséquent le cas $\Large e^e$ doit être exclu de cette discussion, même si l'on parvient finalement à montrer (justement, je n'y suis pas encore parvenu non plus !) que lorsque $\Large x \to e$ et que $\Large x^y = y^x$ alors $\Large x^y \to e^e$ et qu'aucun autre couple (x,y) vérifiant $\Large x^y=y^x$ n'est tel que $\Large x^y < e$ !

Citation:

Posté par montsegur

J'ai vérifié sur une calculatrice graphique que :
z = x^y = y^x = { e^[1/ln(x)] }^x
passe bien par le minimum e^e pour x = e
Donc la démonstration sur le post précédent est exacte.
L'affaire est donc classée.

Je pensais que nous étions d'accord sur le fait qu'une vérification graphique ne constituait nullement une preuve ! Pour moi, l'affaire n'est nullement classée !

Posted by: montsegur

Dans x^y = y^x

il faut bien comprendre que x et y sont liés et non indépendants.

Yos et Quidam ne tiennent pas compte de cela, d'où le dialogue de sourds.

J'ai donc cherché le lien entre x et y qui satisfasse x^y = y^x

z = x^y = y^x ; donc : ln(z) = y ln(x) = x ln(y) = Z

Z' = y' ln(x) + y/x = (x/y) y' + ln(y) = 0 entraîne :

y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ] d'où : ln(y) = 1/ln(x)

et donc : y = f(x) = e^[1/ln(x)]

ln(y) = 1/ln(x) est valable pour tout x compris entre 1 et e

qui entraîne donc que y est compris entre e et l'infini.

x compris entre 1 et e ; y compris entre l'infini et e

sont les bornes de validité de x différend de y

y compris x = y = e

x et y ont une variation opposée

Lorsque x varie de 1 à e, y varie de l'infini à e

x et y lors de leurs variations s'éloignent ou s'approchent

de e en même temps.

Quidam dit :
Je pensais que nous étions d'accord sur le fait
qu'une vérification graphique
ne constituait nullement une preuve !
Pour moi, l'affaire n'est nullement classée !

Réponse :
Bien sûr, mais j'ai seulement visualisé
ce que j'ai démontré mathématiquement.
Pour moi, l'affaire est classée.
Pour d'autres non, parce que vous ne tenez
pas compte du fait que x et y sont liés.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par montsegur

il faut bien comprendre que x et y sont liés et non indépendants.

Cela va de soi !

Citation:

Posté par montsegur

Yos et Quidam ne tiennent pas compte de cela, d'où le dialogue de sourds.

Tout à fait FAUX !
En effet :

Citation:

Posté par Quidam

Citation:

Posté par montsegur

Donc j'ai bien dit que j'étais d'accord avec le début du calcul, là où tu écris : "y' = -(y/x) ln(y) = -(y/x) [ 1/ln(x) ]". Etre d'accord avec le calcul de y', n'est-ce pas admettre que y et x sont liés ? D'ailleurs, tu aurait dû le préciser ! J'ai compris ta notation "y' " comme "dérivée de y par rapport à x". Il est tout à fait clair que je considère x et y liés, comment faire autrement d'ailleurs ?
Alors, "dialogue de sourds" oui ! Mais pas "parce que Yos et Quidam ne tiennent pas compte de cela"... Je constate que toi, tu n'as pas répondu à mes objections...

Mais tu mélanges un peu tout :

Quand tu dis :

Citation:

Posté par montsegur

ln(y) = 1/ln(x) est valable pour tout x compris entre 1 et e

... tu fais erreur ! Cette relation n'est valable que pour les valeurs de x et y telles que Z'=0, car tu as utilisé le fait que Z'=0 pour arriver à cette conclusion ! D'ailleurs, le contre-exemple est criant : pour x=2, y=4, on a bien $\Large 2^4=4^2$ , (les seules solutions entières du problème ; voir tout en haut du post), et pourtant il est clair que ln(4)=2ln(2) n'est pas égal à 1/ln(2) !

Posted by: montsegur

J'ai demandé à Alpha de me bannir immédiatement.
Vous ne me verrez plus.

Posted by: Mikou

quel soulagement !

Posted by: mon nom est personne

Citation:

Posté par Mikou

quel soulagement !

oh ! non ! montsegur, pourquoi pars-tu ?
d'un sens je te comprends
mieux vaut laisser faire et observer le monde
ce pauvre petit monde
qui ne sais plus quoi inventer
et ces gens bien rangés
il ne faut pas qu'une tête dépasse
il faut être sage
et tout le monde obéit
ici, c'est café mathématique
on parle que de maths
attention, sinon, on se fait taper sur les doigts !
et pour rester dans le sujet : 1+1=8
ha ha ha c'était une blague mathématique... drôle, non ?
allez, moi aussi je taille la zone !
j'avais espéré trouver des esprits plus ouverts
en venant ici
mais tout le monde est pareil
faut pas rêver
salut et à dans cent ans, ou un peu moins

dieu que c'est beau la liberté

Posted by: yos

Bonsoir.
Quidam a eu bien du courage pour analyser le raisonnement de Montsegur. Il y a effectivement une belle erreur.
Pour ma part je maintiens qu'il y a un péché originel : le problème est mal posé.
La fonction $u : x\mapsto y$ tel que $x^y=y^x$ doit être définie sur ]1,e[ à valeur dans $]e,+\infty[$ .
Le minimum cherché (s'il y en a un) est celui de la fonction $\phi : x\mapsto x^{u(x)}$ définie sur ]1,e[.

u(2)=4, u(9/4)=27/8 et plus généralement $u((1+\frac{1}{n})^n)=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ .

J'aimerais en savoir plus sur la fonction u.

Dommage d'avoir banni le château Cathare (même s'il l'a demandé). Son approche était originale. On voit des trucs bien pire sur le forum et souvent moins intéressant.

Posted by: Patastronch

J'ai pas suivi un truc la. Pourquoi il demande a se faire bannir ? et pourquoi l' a ton banni ?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par yos

Quidam a eu bien du courage pour analyser le raisonnement de Montsegur. Il y a effectivement une belle erreur.

Merci !
Au début, j'ai rechigné un peu à me lancer dans cette analyse, ... mais j'avais quand même envie de savoir ! Ce qui m'a mis sur la voie c'est son expression de y' qui était différente de la mienne ! J'en ai déduit que y' était bien égal à ce qu'il disait mais seulement au point où z' est nul. Mais je crois qu'il n'était nullement disposé à faire l'effort nécessaire pour comprendre...
Cela dit, je n'ai pas eu le temps de lui dire (j'attendais qu'il se calme un peu !) que j'avais terminé le raisonnement qu'il avait commencé. Il arrive à la conclusion qu'en un point où Z'=0 alors ln(z)=x/ln(x) et je pense que ça, c'est correct. Mais il est facile d'étudier la fonction x/ln(x) et de voir qu'elle est minimale en x=e et que son minimum est bien e. Dès lors, Z ne peut en aucun cas être plus grand que $\Large e^e$ , là où Z'=0. $\Large e^e$ apparaît donc comme une borne inférieure, jamais atteinte. L'ensemble des valeurs $\Large x^y$ pour les couples (x,y) de nombres distincts tels que $\Large x^y=y^x$ est donc borné inférieurement par $\Large e^e$ mais n'a pas de minimum.

Citation:

Posté par yos

Pour ma part je maintiens qu'il y a un péché originel : le problème est mal posé.

Je ne crois pas que le problème soit mal posé. Qu'y a-t-il de mal a chercher si l'ensemble des valeurs $\Large x^y$ pour les couples (x,y) de nombres distincts tels que $\Large x^y=y^x$ admet un plus petit élément ?

Posted by: yos

Citation:

Posté par Quidam

Sauf que Montsegur ne l'a jamais formulé aussi clairement et c'est pour ça qu'il s'est enfoncé. Au point de trouver un minimum avec x=y. C'est pourquoi j'ai cherché longuement ce qu'il voulait exactement.

Posted by: Mikou

'tu ne vois point clair en ce probleme' dixit monsegur

Posted by: inconnu

Une chose est sûre, c'est que :

z = { e^[1/ln(x)] }^x

passe bien par un minimum e^e pour x = e

Quand montsegur dit que :

ln(y) = 1/ln(x) est valable pour tout x compris entre 1 et e

il parle du lien entre x et y et non pas ce que dit Quidam

... tu fais erreur ! Cette relation n'est valable que pour les valeurs de x et y telles que Z'=0, car tu as utilisé le fait que Z'=0 pour arriver à cette conclusion ! D'ailleurs, le contre-exemple est criant : pour x=2, y=4, on a bien , (les seules solutions entières du problème ; voir tout en haut du post), et pourtant il est clair que ln(4)=2ln(2) n'est pas égal à 1/ln(2) !

ici Quidam retombe dans x et y indépendants.

Il y a manifestement une incompréhension totale
entre montsegur et Quidam.

Posted by: virtualmeet

Citation:

Posté par Mikou

quel soulagement !

Oh oui quel soulagement!
Il est vrai que des fouteurs de troubles comme lui ne méritent pas plus de considération dans une ambiance de matheux ou le sérieux est de mise.
De son nom "montsegur" jusqu'a ses commentaires, rien en lui n'accorde de considération aux preceptes d'un vrai matheux : On est dabord sérieux, on ne parles pas beaucoup et surtout on ne fait pas de blagues.
Il l'a compris a ses dépends et c'est tant mieux: ici l'humour ne dépasse pas l'utilisation des têtes jaunes mises a notre disposition et qui sont largement suffisantes pour exprimer, dans le respect de la sensibilité des autres lécteurs, toute émotion que peut sentir un vrai matheux.
Je le vois déjà s'éloigner de nous, tel un penguin albinos qui se fait chasser de sa horde, et se diriger tout droit sa perte : le monde des vivants.
Ici tout le monde est mort ou presque et ceux qui ont encore un souffle de vie s'acharnent a chasser ceux qui nous insultent par l'expression de leurs joie de vivre.
Quant a l'autre "je suis sans nom" son départ est encore plus insignifiant pour nous: Même une variable doit avoir un nom.
Bref, on est bien ensemble et...il est temps de dormir, jusqu'a la venue du prochain "fouteur de troubles".

Posted by: inconnu

Je vous trouve bien lamentables au sujet de montsegur.
Les médiocres, on a des joies médiocres.

Posted by: virtualmeet

Citation:

Les médiocres, on a des joies médiocres.

Nous matheux, Dieu merci, on n'en a pas du tout!

Posted by: inconnu

J'ai consulté les topics et les posts de montsegur,
je ne vois pas en quoi il a jeté le trouble.
Comme toujours, les personnes ont des réactions
passionnelles qui ne sont pas justifiées par une lecture paisible.
Le chauvinisme est toujours une attitude de faiblesse.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par inconnu

J'ai consulté les topics et les posts de montsegur,
je ne vois pas en quoi il a jeté le trouble.
Comme toujours, les personnes ont des réactions
passionnelles qui ne sont pas justifiées par une lecture paisible.
Le chauvinisme est toujours une attitude de faiblesse.

Par contre Montségur c'est ridicule de poster en anonyme et de s'auto-congratuler ...

Posted by: virtualmeet

Citation:

J'ai consulté les topics et les posts de montsegur,
je ne vois pas en quoi il a jeté le trouble.

Comment osez vous dire une chose pareil??
Je vois déja en vous une graine de future FT !
Gare a vous car votre destiné est entre nos mains et la punition par le banissement jamais trés loin.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par inconnu

il parle du lien entre x et y et non pas ce que dit Quidam

... tu fais erreur ! Cette relation n'est valable que pour les valeurs de x et y telles que Z'=0, car tu as utilisé le fait que Z'=0 pour arriver à cette conclusion ! D'ailleurs, le contre-exemple est criant : pour x=2, y=4, on a bien , (les seules solutions entières du problème ; voir tout en haut du post), et pourtant il est clair que ln(4)=2ln(2) n'est pas égal à 1/ln(2) !

ici Quidam retombe dans x et y indépendants.

Absolument pas ! Je te signale que si x=2, la valeur de y qui dépend de 2 est bien 4, car $\Large 2^4=4^2$ comme cela a été dit abondamment plus haut (et dans un autre topic plus ancien !). Si Montsegur avait raison de dire que "ln(y) = 1/ln(x) est valable pour tout x compris entre 1 et e" alors, pour x=2, qui correspond à y=4 dans le cadre de la dépendance entre x et y (car $\Large 2^4=4^2$ ), alors ln(4) devrait être égal à 1/ln(2) ce qui est manifestement faux !
Donc à aucun moment je ne considère x et y indépendants !

Citation:

Posté par inconnu

Il y a manifestement une incompréhension totale
entre montsegur et Quidam.

Ça, c'est tout à fait vrai ! Mais, à qui la faute ?

Posted by: 666

Citation:

Posté par virtualmeet

Nous matheux, Dieu merci, on n'en a pas du tout!

ne prends pas ton cas pour une universalité, pauvre tarte !

Posted by: Mikou

mdr ton post vertualmeet

pour repondre a quidam je dirais la faute a ceux qui ne parlent pas ds un langage mathematique sur ce genre de forum ce qui conduit a bien des incomprehénsions

Posted by: virtualmeet

Citation:

Posté par 666

ne prends pas ton cas pour une universalité, pauvre tarte !

Enfin une réaction, stupide mais enfin c'est mieux que rien...encore faut-il avoir le courage de se nomer avant de la formuler!

Posted by: inconnu

Pas du tout. Puisque : ln(y) = 1/ln(x)

Alors pour x = 2 , y = e^(1/ln(2)) = 4,232 086 107

et non pas y = 4.

C'est bien ce que je dis, tu ne tiens pas compte du lien.

Posted by: 666

Citation:

Posté par virtualmeet

Enfin une réaction, stupide mais enfin c'est mieux que rien...encore faut-il avoir le courage de se nomer avant de la formuler!

j'imagine que "virtualmeet" n'est pas ton nom...
666 n'est pas le miens non plus

Posted by: Mikou

bon montsegur arrete de poster ici ca ne sert a rien ! tu es borné tu n'utilise pas latex et tu ne parle pas ds un langage mathematique, comment veux tu apres cela te faire comprendre ? pour finir pk demander a te faire bannir si c'est pour venir poster en 'anonyme' 2 jours plus tard ?

Posted by: 666

chacun fait ce qu'il veut

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par inconnu

Pas du tout. Puisque : ln(y) = 1/ln(x)

Alors pour x = 2 , y = e^(1/ln(2)) = 4,232 086 107

et non pas y = 4.

C'est bien ce que je dis, tu ne tiens pas compte du lien.

Mais justement ! Il est faux de dire que ln(y) = 1/ln(x) pour tous les couples (x;y) pour lesquels x appartient à l'intervalle ]1,e] ! Le lien entre x et y est que $\Large x^y = y^x$
Quand x=2, le lien entre x et y est que $\Large 2^4=4^2$ . Montsegur a cru, à tort, que ce lien équivalait à ln(y) = 1/ln(x) ! Et puisque à x=2 correspond à l'unique valeur y=4 (dans le cadre du problème posé : $\Large x^y=y^x$ !) on constate effectivement que si la relation de Montségur [ ln(y) = 1/ln(x) ] était vraie, alors y serait égal à 4,232086107 ! Mais justement je te signale que $\Large 2^{4,232086107} = 18,792513$ ... et que $\Large 4,232086107^2 = 17,91055$ ... et par conséquent le couple (2;4,232086107) n'est pas solution du problème "trouver les couples (x;y) tels que $\Large x^y = y^x$ " !

Posted by: inconnu

Je viens de vérifier :

2^4,232 086 107 = 18,792 513 13

est différend de :

4,232 086 107^2 = 17,910 552 81

Effectivement c'est la preuve que Quidam à raison.

Posted by: inconnu

La démonstration de montsegur n'est donc pas valable.
Il faut trouver autre chose.

Cependant, dans :

y1 = ln(x) et y2 = a x

en faisant varier "a" pour des valeurs inférieures à 1/e
on trouve bien les couples de valeurs x et y
qui conviennent pour x^y = y^x

C'est une constatation graphique.

La démonstration reste donc à faire.

Posted by: virtualmeet

Citation:

Posté par Mikou

bon montsegur arrete de poster ici ca ne sert a rien !

Waw...Alors même mort, montsegur continu a faire vivre ce forum! Il lache pas le morceaux hein, un vrai dure a cuire!

Citation:

Posté par 666

j'imagine que "virtualmeet" n'est pas ton nom...
666 n'est pas le miens non plus

Nous on est obligé de se conformer au respect des lois de ce forum, alors que les morts-vivants comme toi qui apparaissent et disparaissent au grés du vent n'y êtes pas!
Ne monte pas sur le ring qui veut.

Posted by: inconnu

Il suffit que Alpha ferme le topic ou bien bloque les IP.
Ainsi ceux qui ont la haine pourront roupiller dans leur suffisance.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par inconnu

Je viens de vérifier :

2^4,232 086 107 = 18,792 513 13

est différend de :

4,232 086 107^2 = 17,910 552 81

Effectivement c'est la preuve que Quidam à raison.

Ouf ! Enfin, je ne suis plus seul (enfin, je savais quand même que Yos était dans mon camp, mais comme il n'intervient pas, les doutes reviennent si vite ... !) ! Merci inconnu ! Maintenant, le calme est revenu, les oiseaux chantent, c'est le printemps ! Je me sens à nouveau ZEN

Posted by: virtualmeet

Citation:

Posté par Quidam

Maintenant, le calme est revenu, les oiseaux chantent, c'est le printemps ! Je me sens à nouveau ZEN

Oui, c'est ce que je me disais aussi: Il est temps de dormir.
Quant au chant de oiseaux, moi je dirais que c'est plutôt le renflement de quelqu'un qui dort la bas dans le coin!

Posted by: inconnu

Ce n'est pas le nombre de personnes
qui fait la validité d'une idée ou d'une démonstration.
Copernic, Galilé et bien d'autres étaient seuls à avoir raison contre tous.
Donc même seul, on peut avoir raison.
montsegur a fait une erreur, soit. Cela ne justifie pas la haine.

Posted by: inconnu

Bonjour Quidam

inconnu = montsegur

Maintenant que tout est clair,
je quitte le forum pour que ceux qui me détestent
puissent dormir tranquilles. Grand bien leur fasse.
Je n'en veux à personne. L'incompréhension est banale.
Elle engendre la haine et la violence.
C'est vieux comme l'Humanité.

Posted by: virtualmeet

Citation:

Posté par inconnu

Bonjour Quidam

inconnu = montsegur

Maintenant que tout est clair,
je quitte le forum pour que ceux qui me détestent
puissent dormir tranquilles. Grand bien leur fasse.
Je n'en veux à personne. L'incompréhension est banale.
Elle engendre la haine et la violence.
C'est vieux comme l'Humanité.

Bonjour Montsegur,
Avant tout, je tiens a vous remercier pour vos intervention mais surtout pour le bel exemple de l'interêt qu'un matheux doit avoir vis a vis des mathématiques.
Néanmoins, j'aimerais vous dire que pour avancer dans ses connaissances, il ne faut pas porter attention aux remarques, parfois stupides, des autres : vous devez garder votre objectif en vue, a savoir l'amélioration de votre niveau en mathématique, et pour cela vous devez vous battre et ne pas s'arrêter sur les commentaires de quelques uns.
Seul votre objectif est important, le reste on s'en fou.
Alors, "montsegur" est mort, vive "descentsegur" ?
Quelques soit votre decision, vous avez mes amitiés les plus sincères.

Posted by: inconnu

virtualmeet dit :
Alors, "montsegur" est mort, vive "descentsegur" ?
Quelques soit votre decision, vous avez mes amitiés les plus sincères

Réponse :
oui, on peut aussi trouver valléesegur ou même mieux puitsegur
bon sang... mais... c'est bien sûr : puitsegur, voilà un pseudo
qui va remplir de joie ceux qui me détestent parce que plus bas
que terre. Comme vous voyez ma devise : humour toujours
est respectée. Mais c'est vrai que peu de personnes sont
susceptibles d'apprécier.

Ceci dit, j'attends que Quidam lise mes derniers posts
et qu'éventuellement, il me le dise, afin que je quitte le forum.
Ma présence n'étant pas du tout appréciée puisque nombre
de personnes ont porté plainte contre moi à Alpha.
Personne n'est indispensable. De plus, il y a sur le forum des personnes
bien plus compétentes que moi. Donc tout va bien.

Posted by: inconnu

Citation:

Posté par Patastronch

Par contre Montségur c'est ridicule de poster en anonyme et de s'auto-congratuler ...

C'est vrai que mon humour
est difficile à comprendre pour certaines personnes...

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par inconnu

Ceci dit, j'attends que Quidam lise mes derniers posts
et qu'éventuellement, il me le dise, afin que je quitte le forum.

Bonjour Montségur !

Je ne comprends pas en quoi mon avis sur tes derniers posts peut t'intéresser, mais, bon. Je vais te le donner.

A mon post :

Citation:

Posté par Quidam

Inconnu a répondu :

Citation:

Posté par inconnu

Ce n'est pas le nombre de personnes
qui fait la validité d'une idée ou d'une démonstration.
Copernic, Galilé et bien d'autres étaient seuls à avoir raison contre tous.
Donc même seul, on peut avoir raison.
montsegur a fait une erreur, soit. Cela ne justifie pas la haine.

Certes ! Mais il me semble que j'ai montré par mes réponses que je ne me souciais guère d'être seul ou pas pour défendre mon point de vue. Cela n'empêche nullement un certain soulagement lorsque quelqu'un admet que j'avais raison de le défendre. Je ne suis pas Copernic, ni Galilée, et j'apprécie grandement - comme l'aurait peut-être apprécié Galilée - que quelqu'un disent clairement qu'il est de mon avis...

Cela dit, si cette remarque "Ce n'est pas le nombre de personnes qui fait la validité d'une idée" s'adressait me semble-t-il à moi, je ne me sens nullement visé par la suite "Cela ne justifie pas la haine". Tu constateras à la lecture de l'intégralité de mes posts que je n'ai fait preuve d'aucune agressivité à ton égard, a fortiori de nulle haine, me contentant de défendre mon point de vue mathématique sur un problème mathématique, ce qui est non seulement mon droit, mais aussi tout simplement mon devoir en tant que scientifique, ne serait-ce que pour finalement être éventuellement convaincu par mon interlocuteur que c'est moi qui ais tort et lui qui est dans le vrai ! Cela même si je reconnais - bien que tu n'ais pas pu le savoir car je me suis abstenu de le dire - qu'effectivement j'ai été moi-aussi un peu irrité par certains de tes posts, jamais au point cependant d'éprouver quelque "haine" que ce soit - on peut bien être irrité même par ses amis ! J'ai eu l'impression que tu ne lisais pas suffisamment attentivement ce que j'écrivais et que pour cette raison tu t'obstinais à être persuadé que j'étais dans l'erreur !

Enfin, je n'ai pas compris pourquoi, après les remontrances de Alpha, tu avais subitement décidé d'être banni ! Cela me dépasse ! Il n'est pas nécessaire d'être banni pour ne plus venir sur ce site (ce n'est pas non plus suffisant). Si tu ne souhaites plus venir sur ce site, tu n'as pas besoin d'un bannissement pour cela. Je ne comprends pas... De temps à autre, un avertissement des modérateurs vient freiner les ardeurs de tel ou tel participant, sans que cela provoque quoi que ce soit - les choses rentrent dans l'ordre, c'est tout. Les modérateurs sont là pour cela et ils font bien leur "travail" (bénévole, rappelons-le).

En ce qui me concerne, je me suis contenté de discuter d'un problème mathématique...

Posted by: inconnu

Bonjour Quidam,

Je ne parlais de toi, mais de la haine que d'autres ont exprimé.

La controverse a été rude, mais fructueuse, puisque qu'elle a abouti
au fait que j'ai enfin pris conscience de mon erreur grâce à toi.
Je t'en remercie vivement. Si j'avais fait une vulgaire erreur de calcul
s'eut été peu de chose, mais j'ai fait une erreur de raisonnement, ce
qui est bien plus grave. Je suppose que cela est dû à l'âge : cerveau lent.
Je vais continuer à chercher. Si je trouve une démonstration exacte et
irréfutable, je publierai ailleurs (il y a de nombreux forums de maths sur Internet)
d'abord la démonstration fausse que j'ai publié ici et immédiatement à la suite
la démonstration exacte. C'est pas demain la veille.

Si j'ai demandé à être banni, ce n'est pas du tout pour fuir lâchement mes
responsabilités, comme certaines personnes l'ont imaginé dans un jugement
hâtif et téméraire, mais parce que pour plusieurs personnes je suis indésirable.
Comme je respecte l'opinion des autres, il est hors de question que j'impose
ma présence.

Maintenant que tout s'est éclairci, je quitte le forum que je supprime de
mon ordinateur. Si quelques rares personnes sont motivées pour rester en
contact, il leur suffit de noter mon adresse MSN : montsegur1244@hotmail.com
Je n'en veux à personne. Bonne continuation à toutes et à tous.

Posted by: aviateurpilot

$x^y=y^x$
si p|x avec p premier alors p|y
avec $xV_p(y)=yV_p(x)$
donc $V_p(x)=k\frac{x}{PGCD(x,y)}$ et $V_p(y)=k\frac{y}{PGCD(x,y)}$
donc il existet N tel que $x=N^{\frac{x}{PGCD(x,y)}}$ et $y=N^{\frac{y}{PGCD(x,y)}}$
dans ce cas $PGCD(x,y)=N^{\frac{min(x,y)}{PGCD(x,y)}}$
si $x>y$
alors y|x, donc x=ny (n>1)
$(ny)^y=y^{ny}$
$n^y=y^{(n-1)y}$
$n=y^{n-1}$
donc $x=y^n$
$y^{ny}=y^{y^n}$
$ny=y^n$
$y^{n-1}=n$
si y>1 et n>2, $y^{n-1}\ge 2^{n-1}>n$
les seules possiblités
n=2 donne y=2 alors x=4
si x=y, l'equation est verifié
donc S={(2,4),(4,2),(x,x) quelque soit x}
sauf erreur

Posted by: aviateurpilot

qui veux confirmer
sinon ou est ma faute?

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par aviateurpilot

qui veux confirmer?

je voulais dire: qui peux confirmer

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par aviateurpilot

si p|x avec p prmier alors p|x

!!!!!!!!!!!!
Je ne comprends pas tes notations. Apparemment, tu veux résoudre le problème en nombres entiers : je ne comprends pas ton raisonnement (à cause des notations) mais je suis d'accord avec le résultat final !

Posted by: aviateurpilot

je voulais dire si p|x alors p|y

Citation:

Posté par Quidam

Je ne comprends pas tes notations

je suis en teminal et je n'ai utlisé que ce que j'ai vu en terminal et les années precedantes
a|b (c'est a divise b),j'ai vu ça avant le terminal.
$V_p(a)=b$ si $p^b$ divise a et $p^{b+1}$ ne divise pas $a$ .
PGCD(x,y)=d (ne me dit pas que tu ne l'a pas compris)
c'est tous ce qu'il vous faut pour comprendre mon raisonnement.

Posted by: Mikou

ca sert a quoi de dire que t en terminal ?

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par Quidam

Je ne comprends pas tes notations.

je n'utilise que les notation de $\le$ terminal

Posted by: aviateurpilot

dans tous les 80 poste precedentes vous n'avais pas trouvé (2,4) et (4,2)
alors la methode de $lnx$ n'ai pas utile

Posted by: Mikou

heu, jai u ce pb en DS la methode ln x / x donne bel et bien 2,4 comme couple solution

Posted by: Bouchra

Citation:

Posté par aviateurpilot

dans tous les 80 poste precedentes vous n'avais pas trouvé (2,4) et (4,2)
alors la methode de $lnx$ n'ai pas utile

aviateurpilot, et ceci :

Citation:

Posté par Quidam

Un exemple est $\Large 2^4 = 4^2$ , solution positive du problème plus restreint $\Large x^4 = 4^x$ posé et résolu récemment dans ces colonnes !

?

Je pense que Quidam parlait bien de x=2 et y=4 et non de x=y=2^4 .

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par aviateurpilot

dans tous les 80 poste precedentes vous n'avais pas trouvé (2,4) et (4,2)
alors la methode de $lnx$ n'ai pas utile

Ah oui ? Et ça c'est quoi ?

Posté le 20/03/2006 à 09H08 :

Citation:

Posté par Quidam

Un exemple est $\Large 2^4 = 4^2$ , solution positive du problème plus restreint $\Large x^4 = 4^x$ posé et résolu récemment dans ces colonnes !

En outre, étant donné que la plus petite des valeurs est plus grande que 1 et plus petite que e, il est clair que $\Large 2^4=4^2$ est la seule solution en nombres entiers !

Je ne connaissais pas la notation $V_p(a)$ pas plus que les théorèmes y liés...

Mais je crois t'avoir dit que j'étais d'accord avec ta conclusion !

Posted by: aviateurpilot

dsl, je ne savais pas ou ete ma tete

Posted by: polymathematic

bonjour
desole j me suis trompe d'endroit
a+

Posted by: justinedu35

Je ne comprends pas cette partie de la démon :"La fonction f définie sur R+* par est croissante sur elle croît de à . Elle est ensuite décroissante sur : elle décroît de à 0.

Par conséquent quel que soit tel que , la droite d'équation coupe le graphe de f en deux points distincts d'abscisses et et l'on constate que , ce qui montre que ."
Pouvez vous m'aider