Mathématiques - Voir une statue sous son meilleur angle

Voir une statue sous son meilleur angle
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Posted by: mathelot

Bonjour,

samedi 22 septembre, pour bien commencer la journée, je vous propose cet exercice:

Une statue de hauteur s est plaçée sur un piédestal de hauteur p. A quelle distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ?

indication: Arctan

Cordialement,

Posted by: mathelot

Voiçi quelques infos:

s=hauteur de la statue
p=hauteur du piédestal
x=distance de l'observateur à la statue

$\theta(x)$ = angle de vision de l'observateur

$\theta(x)= \arctan(\frac{p+s}{x})-\arctan(\frac{p}{x})$

Il s'agit de maximiser $\theta$

Cordialement,

Posted by: nuage

Salut,
en termes plus géométriques :
On donne 3 points A, B et C alignés dans cet ordre.
Il s'agit de construire un cercle passant par A et B et tangent à la perpendiculaire à (AB) passant par C.

Posted by: mathelot

Comment fais-tu cette construction ?

Le signe de la fonction $x \longrightarrow \theta^{'}(x)$
est celui du trinôme:

$- s \left( \, x^2 - p(p+s) \right)$

Le meilleur angle d'observation de la statue est obtenu à une distance

$\displaystyle x_{0}=\sqrt{p(p+s)}$

On doit donc préprogrammer cette fonction sur sa calculatrice avant d'aller
au musée ou se promener dans un parc..

Le meilleur angle est donc:

$\displaystyle \theta_{0}= 2 \, \arctan \left( \, \sqrt{1+\frac{s}{p}} \right) - \, \frac{\pi}{2}$

cordialement,