Vitesse de convergence de suites

[zelda007]

Bonjour dans le cadre de mon TIPE, j'aurais une question à vous poser :

On s'intéresse à la méthode de Newton pour approcher un zero d'une fonction. On note z la solution telle que f(z) = 0.

On a majoré une suite :

|x_n - z| <= beta / 10^(2^n-1)

On dit que la convergence est quadratique. Comment évolue le nombre de décimales justes de z à chaque itération ?
et comment évoluerait t-il si la majoration était de la forme 10^(-n) ?

Je n'ai pas très bien compris cela. Comment à partir de cette inégalités, on peut obtenir le nombre de décimales justes ?

Merci :)

[alavacommejetepousse]

bonjour

à un chouia prés xn a 2^n décimales justes

sinon on aurait n décimales justes

[vincent.pantaloni]

La première inégalité signifie en gros que le nombre de décimales justes double à chaque itération, sinon tu as simplement une décimale supplémentaire juste. Cela est du au fait que dans la méthode de Newton, le point fixe est super attractif, la dérivée de f (où ) s'annule au point fixe. Ca se comprend bien avec des shémas en "toile d'araignée"

[emdro]

|x_n - z| <= beta / 10^(2^n-1)

Bonjour,

cette inégalité mesure la qualité de l'approximation de z par x_n.
A gauche, tu as la distance entre ces deux nombres: |x_n - z|.
Le membre de droite t'offre un majorant de cette distance.

Or . Aux 10 betas près, tu vois que cette précision est en:
pour n=1
pour n=2
pour n=3.

Si tu avais deux décimales justes pour n=1, tu passes à 4 pour n=2, 8 pour n=3....

NB Attention toutefois, si tu prends tu auras les termes successifs 0 ; 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ...
Toutes les décimales obtenues seront des 9, et aucune ne sera juste, car la suite tend vers 1. Cela est dû à la double écriture décimale: 1=0.99999...

[zelda007]

Merci à tous pour vos réponses mais je n'arrive pas à comprendre cette histoire de "décimales justes ou pas". Je ne vois pas comment on peut affirmer qu'il y a 2^n décimales justes avec cette inégalité...

Désolé mais je suis un peu perdu :doh:

[emdro]

Essaie donc de trouver deux nombres distants de moins de 0.001 avec des chiffres des unités différents. C'est plutôt rare, non? (bien que possible)

idem pour les dixièmes et les centièmes....