jet verticale

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: saturninlenain

bonjour vous pouvez m'aider à faire cet exo SVP?

Saturnin s'amuse au jet verticale d'un gros silex (masse volumique= 2.7*10^3 kg.m^3), de masse m=5.2kg, dont le facteur de forme aérodynamique est Cx=1 lorsqu'il est lancé perpendiculairement à sa section d'aire S= 0.020m². La vitesse initiale est dirigée vers le heut et a pour valeur V0=15m*s^(-1).
1/ Calculer la hauteur maximale de montée en l'absence d'atmosphère et la durée de montée.
2/ On prend en compte les forces dues à l'air (masse volumique : 1.2 kg.m^(-3) dans les conditions de l'expérience). On suppose que le frottement est de la forme:
fr= k*V² avec k=1/2*µ0*S*Cx.
a/ Ecrire l'équation différentielle du mouvement.
En déduire l'expression de la variation Delta V de la vitesse lors de la montée, pour un pas delta t = 0.010s.
b/ On utilise la méthode des variations d'Euler avec un pas delta t = 0.010s.
Exprimer la vitesse Vn à l'instant tn=t(n-1) + delta t en fonction de V (n-1) à l'instant t(n-1).
3/ a/ Exprimer delta z en fonction de V et de delta t.
b/ Exprimer zn à la date tn=t(n-1)+delta t en fonction de z (n-1) et de la variation delta z.
c/ Déterminer l'altitude maximale atteinte.

merci d'avance.

de la part d'un élève déprimé :(


Posted by: saturninlenain

j'ai réussi la 1/ mais je bloque à la fin de la 2/ a) :(


Posted by: Dominique Lefebvre

Bonjour,
Pour résoudre la 2/ il faut que tu réécrives ton équation différentielle. En 1/ tu as supposé que seul le poids s'exercait sur ton mobile. Maintenant tu as deux forces: le poids du mobile et une force de frottement qui dépend du carré de la vitesse (F = -k*v*v). La forme de ton equa diff sera sensiblement différente et la forme des solutions aussi...


Posted by: Dominique Lefebvre

Si tu veux un topo sur la méthode d'Euler, va voir sur le site www.TangenteX.com à la page Introduction au FORTRAN. Il y a une petite intro à cette méthode de résolution d'EDO.


Posted by: saturninlenain

j'ai fait Vn=V(n-1) +( -g +µair/µsilex*g -kv²/m)*(tn-tn-1)
c'est ça?


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par saturninlenain
j'ai fait Vn=V(n-1) +( -g +µair/µsilex*g -kv²/m)*(tn-tn-1)
c'est ça?


fais attention! As-tu écris ton équation différentielle? Il faut le faire. Tu t'apercevras que le v² que tu traînes dans ton membre de droite est à prendre en considération...

Ton équation est de la forme m*dv/dt = m*g - k*v² où v et g sont des vecteurs..
Ton approximation eulerienne n'est pas correcte.


Posted by: saturninlenain

pour l'équation différentielle vous n'avez pas oublié la poussée d'archimède?


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par saturninlenain
pour l'équation différentielle vous n'avez pas oublié la poussée d'archimède?


En principe, pour un mouvement dans l'air, en considérant le frottement aérodynamique, on néglige la poussée d'Archimède. Tu peux t'amuser à la calculer, elle est vraiment négligeable...;

Si tu projettes sur une base O,i,j dans un référentiel orthonormé, tu obtiens une EDO de la forme:

d2x/dt2 = -a - (k*m)((dx/dt)2 + (dy/dt)2)ux
d2y/dt2 = -g -(k*m))((dx/dt)2 + (dy/dt)2)uy

où a est l'accélération (à voir selon les conditions initiales) sur l'axe des x, ux et uy les cosinus directeurs du vecteur vitesse.


Posted by: saturninlenain

j'ai trouvé Vn=V(n-1) +( -g + -kv²/m)*(tn-tn-1) à la fin pour la 2/ a c'est ca?


Posted by: saturninlenain

j'comprend rien :(
SVP aidez moi


Posted by: Dominique Lefebvre

qu'as-tu trouvé comme équation différentielle du mouvement en ne l'intégrant que pour la vitesse?

Tu dois avoir une EDO de la forme dv/dt = ...


Posted by: Dominique Lefebvre

Si tu écris le PFD, tu obtiens:
dv/dt = -g - (k/m)v*v

non?

C'est sur cette EDO qu'il faut que tu appliques Euler pour calculer la vitesse.


Posted by: saturninlenain

donc v=-gt-k/2m*V^3 ?

Je n'y arrive vraiment pas pour cette question :( je reste bloqué


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par saturninlenain
donc v=-gt-k/2m*V^3 ?

Je n'y arrive vraiment pas pour cette question :( je reste bloqué


Euh non, pas vraiment...

Ton EDO est de la forme y' + a*y^2 + b = 0

Si tu appliques la définition d'Euler à ton équation, tu obtiens:

dv/dt = -g - (k/m)v*v => v(n+1) = v(n) - (k/m*v(n)*v(n) +g)*dt

ça te parle? N'oublie pas de fixer la valeur initiale de v(0)...


Posted by: saturninlenain

merci beaucoup :)

Ensuite on me demande de trouver l'instant où V=0.
Mais je trouve t=0 c'est pas normal si?


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par saturninlenain
merci beaucoup :)

Ensuite on me demande de trouver l'instant où V=0.
Mais je trouve t=0 c'est pas normal si?


ça dépend. Je ne me souviens plus de ton énoncé, mais celui-ci devrait te donner les conditions initiales du mouvement. Est-il précisé que la vitesse initiale est nulle? c'est souvent le cas...
Tu auras sans doute remarqué la forme de la trajectoire. Elle passe par un extrémum. Or à un extrémum, la dérivée s'annule. Et la vitesse est la dérivée de x(t)...

PS: je viens de relire ton énoncé: la vitesse initiale n'est pas nulle...


Posted by: saturninlenain

On trouve un truc dans les 1 min c'est beaucoup non?


Posted by: Dominique Lefebvre

Je ne sais pas, je n'ai pas fait le calcul.

Si tu veux un ordre de grandeur, fait le calcul en négligeant la résistance de l'air . Tu auras un mouvement parabolique standard (tu sais, z = 1/2gt^2 + v0t + z0) et les calculs sont bien connus et surtout analytiques.. Cela te donnera un majorant pour l'altitude et le temps de vol de l'objet.


Posted by: saturninlenain

lorsque j'utilise dv/dt = -g - (k/m)v*v => v(n+1) = v(n) - (k/m*v(n)*v(n) +g)*dt cela me donne une droite alors que ca devrait me donner une parabole non?


Posted by: Dominique Lefebvre

Bonjour,

Une droite ! Y a un schisme quelque part !!

Allez, reprenons tout depuis le début...

L'application du PFD donne l'équation vectorielle suivante:

ma = mg -k*||v||v (les lettres en gras sont des vecteurs)

d'où dv/dt = g - (k/m)*||v||v

Je me place dans un référentiel xOz (sqrt est la racine carrée)
En projetant sur Ex, on trouve dvx/dt = -(k/m)*sqrt(vx^2 + vz^2)*vx
En projetant sur Ez, on trouve dvz/dt = -(k/m)*sqrt(vx^2 + vz^2)*vz

j'applique la méthode d'Euler à ces deux équations différentielles. Pour calculer la vitesse, cela donne:

vx(t +dt) = vx(t) - (k/m)*sqrt(vx(t)^2 +vz(t)^2)*vx(t)*dt
vz(t +dt) = vz(t) - (k/m)*sqrt(vx(t)^2 +vz(t)^2)*vz(t)*dt

avec les conditions initiales vx(0) = v0*cos(alpha) et vz(0) = v0*sin(alpha).

Pour calculer les coordonnées du mobile:
x(t + dt) = x(t) + vx(t)*dt
z(t + dt) = z(t) + vz(t)*dt

En traçant la courbe z = f(x), tu dois trouver une courbe qui ressemble à une parabole. Ah oui, la vitesse limite du mouvement est sqrt(m*g/k).

Est-ce plus clair comme ça?

Si tu as FORTRAN et Gnuplot (va voir sur TangenteX.com), je peux te faire très rapidement un programme qui te trace cette courbe


Posted by: Dominique Lefebvre

Je t'accorde que l'énoncé de la question n'était pas très clair. Il fait un raccourci de langage, comme moi d'ailleurs.

Pour désigner un frottement proportionnel au carré de la vitesse, il est plus rigoureux d'écrire F = -k*v*v, ce qui facilite les choses...










-