Vérification de convergence d'une série

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Posted by: pihro

Bonjour,

J'aimerai savoir si mon raisonnement est correct :
$\displaystyle \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1=1+\frac{1}{2}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-1+O\frac{1}{n}$
Donc la série $\displaystyle \sum \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-1$ converge.

J'ai trouvé cet exo dans un bouquin, mais ils l'ont fait autrement, alors j'aimerai savoir si ce que j'ai écrit est correct ou pas...

Merci d'avance !


Posted by: xyz1975

Bonjour,
Le DL à l'ordre 1 ne suffit pas pour en déduire la nature car on ignore la nature de la série de terme général o(1/n).
D'une manière générale la série de terme général o(Un) est covergente si la série de terme général Un est absolument convergente (il suffit de voir la définition de petit o).
NB : c'est une condition suffisante mais non nécessaire.
Un DL à l'ordre 2 s'impose ici.


Posted by: pihro

Dans le bouquin, ils ont effectivement fait un développement à l'ordre 2, mais je n'avais pas compris pourquoi il était nécessaire. C'est plus clair pour moi maintenant.

Merci et bonne fin d'après midi !


Posted by: Lierre Aeripz

Il me semble que la série est divergente... Le terme en 1/n est de signe constant.


Posted by: ThSQ

D'accord avec "Lierre Aeripz" : c'est (-1)^{n}/sqrt{n} \, - \, 1/n + truc absolument convergent. Ca diverge


Posted by: xyz1975

Non même si le terme 1/n est de signe constant on ne peut par déduire, ils suffit d'écrire la définition de o(f). La série est convergente en faisant un DL à l'ordre 2 ce qui prouve encore une fois que ne sait pas la nature de la série de terme général o(1/n).


Posted by: Lierre Aeripz

Explique toi plus... Je t'assure que la série diverge.


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par ThSQ
D'accord avec "Lierre Aeripz" : c'est (-1)^{n}/sqrt{n} \, - \, 1/n + truc absolument convergent. Ca diverge

Mais non encore une fois :
u_n=(-1)^{n}/2sqrt{n} \, + \,o( 1/n)
La série de terme général (-1)^{n}/2sqrt{n} est convergente mais la série de terme général o( 1/n) on ne connais même pas son signe.
Rappel :
o(f) est L'ENSEMBLE de toutes les fonctions négligeable devant f
Faites un DL à l'ordre 2 vous récupérez une série convergente ?!!!!


Posted by: ThSQ

Je comprends pas ce que tu dis xyz. Qui te parle de o(1/n) ????


Posted by: Lierre Aeripz

Soyons plus clair...

\forall n>0, \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1=\frac{1}{2}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{4n}+\varepsilon_n
avec \exists A \in \mathbb{R}, \forall n, |\varepsilon_n| \le \frac{A}{n^2}

Es-tu d'accord ?
Eh bien \varepsilon est sommable, la série \sum \frac{1}{\sqrt{n}} converge et la série \sum \frac{1}{n} diverge. Donc la série de terme général la somme de ce trois termes diverge.

Effectivement, si on met un o(1/n) (petit 'o') plutôt qu'un O(1/n^2) (grand 'O'), on ne peut pas conclure.


Posted by: xyz1975

Je suis d'accord avec vous, j'ai pas vérifié les calculs mais j'ai répondu à pihro par rapport à la série o(1/n).










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