Mathématiques - vecteurs gaussiens

vecteurs gaussiens
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Posted by: simplet

Bonjour,
alors j'ai un exo avec lequel je reste bloqué sur la première question (c'est celle que je vous mets):

On a (X,Y) un vecteur gaussien standart à valeurs dans R^2.
On pose pour tout x dans R : sgn(x)= 1 si x>0, 0 si x=0 et -1 si x<0.

Montrer que le vecteur (X, sgn(X)Y) est gaussien et déterminer sa matrice de covariance.

Alors on pense bien sur revenir a la définition: (X,Y) est gaussien ssi toute combinaison linéaire (à coefficients dans R) de X et Y est une gaussienne.

On voit alors que tout combinaison linénaire de X et sgn(X)Y est en fait une combinaison linéaire de X et Y , sgn(X) est juste un signe...

Mon problème c'est que sgn(X) est une va et non un scalaire... je n'arrive pas a mettre en forme en fait..

merci de votre aide

Posted by: simplet

ou comment déplacer les foules...

Posted by: BQss

Citation:

Posté par simplet

Bonjour,
alors j'ai un exo avec lequel je reste bloqué sur la première question (c'est celle que je vous mets):

On a (X,Y) un vecteur gaussien standart à valeurs dans R^2.
On pose pour tout x dans R : sgn(x)= 1 si x>0, 0 si x=0 et -1 si x<0.

Montrer que le vecteur (X, sgn(X)Y) est gaussien et déterminer sa matrice de covariance.

Alors on pense bien sur revenir a la définition: (X,Y) est gaussien ssi toute combinaison linéaire (à coefficients dans R) de X et Y est une gaussienne.

On voit alors que tout combinaison linénaire de X et sgn(X)Y est en fait une combinaison linéaire de X et Y , sgn(X) est juste un signe...

Mon problème c'est que sgn(X) est une va et non un scalaire... je n'arrive pas a mettre en forme en fait..

merci de votre aide

Lu simplet ( je vais plus trop repondre sur le forum, mais bon, j'ai un faible pour les probas ;) )

$P(U \in ]-\infty,a[\times ]-\infty,b[ )=P(X<a,sgn(X)Y<b)=P(X<0,-Y<b) + P(X=0,Y=0) + P(X \in[0,a[,Y<b)$ = $P(X<0,Y>-b) + 0 + P(X \in[0,a[,Y<b)$ =
$P(X<0,Y<b) + P(X \in[0,a[,Y<b)$ = $P(X<a,Y<b)= P(V \in ]-\infty,a[\times ]-\infty,b[)$ ou V est un vecteur gaussien.
U et V ont meme fonction de repartition, ils suivent donc la meme loi, donc U est un vecteur gaussien.

Ils ont donc la meme densité, soit la meme matrice de covariance, soit comme (X,Y)=V est standart:
la matrice:

$Id=\ \left( <br /> \begin{array}{ccc}<br /> 1 & 0 \\<br /> 0 & 1 <br /> \end{array} \right) \$