Variante du Grand Théorème de Fermat

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Posted by: Zweig

Salut,

Une équation que je poste plus que pour son côté esthétique que pour la difficulté du raisonnement à entreprendre.

Résoudre dans \mathbb{N}^3 l'équation suivante : x^x + y^y = z^z

Enjoy


Posted by: lapras

Yo,
on fait ca purement avec des inégalités.


Posted by: benekire2

Je déterre.

Quelqu'un pourrait me mettre sur la voie s'il vous plait ?


Posted by: Zweig

Salut,

Cette équation date un peu, je ne me souviens plus trop comment je l'avais résolue (la seule chose dont je me rappelle est que j'ai utilisé des inégalités).

J'essaie de regarder ça ce soir et je te dis ça (ou bien si Lapras passe par-là ...).

Sinon il me semble que l'exercice est dans le poly d'Animath, section équations diophantiennes.


Posted by: benekire2

euh on les attrappe ou les polys d'animaths ?


Posted by: ffpower

Si x, y et z sont des entiers strictement positifs vérifiant x^x+y^y=z^z, alors x et y sont strictement plus petit que z. Quitte à inverser les roles de x et y, supposons y\geq x. Alors on a la chaine d'inégalités :
z^z\geq (y+1)^{y+1}>(y+1)y^y\geq 2y^y\geq x^x+y^y
On a donc z^z>x^x+y^y, ce qui contredit l'équation initiale. Il n'y a donc pas de solutions..


Posted by: benekire2

Ok merci bien ffpower $
c'était effectivement pas compliqué, mais je voyais pas trop


Posted by: kasmath

c'est facil il faut prouver on premier pgdc(x;y)=pgdc(x;z)=pgdc(z;y)
est il ya une infty de solution a cette equation mais je crois pas que il y a une inéqualty


Posted by: kasmath

Citation:
Posté par ffpower
Si x, y et z sont des entiers strictement positifs vérifiant x^x+y^y=z^z, alors x et y sont strictement plus petit que z. Quitte à inverser les roles de x et y, supposons y\geq x. Alors on a la chaine d'inégalités :
z^z\geq (y+1)^{y+1}>(y+1)y^y\geq 2y^y\geq x^x+y^y
On a donc z^z>x^x+y^y, ce qui contredit l'équation initiale. Il n'y a donc pas de solutions..

il ya infinité de solution


Posted by: Zweig

Non, il y en a aucune. On montre que si (x,y,z) sont solution, alors ils vérifient la dernière inégalité, ce qui contredit la relation par laquelle ils sont liés.


Posted by: Zweig

Tu confonds je pense avec x^{n+1} + y^{n+1} = z^{n+1} d'inconnues (x,y,z). Effectivement, cette équation admet une infinité de solutions.


Posted by: kasmath

Citation:
Posté par Zweig
Tu confonds je pense avec x^{n+1} + y^{n+1} = z^{n+1} d'inconnues (x,y,z). Effectivement, cette équation admet une infinité de solutions.

oui c'est ca j pas fait attention


Posted by: Zweig

Je voulais bien sûr dire : x^{n+1} + y^{n+1} = z^n


Posted by: Zweig

En effet, on peut remarquer que pour tout naturel k, les couples (x,y,z) = (k(k^{n+1}+1)^{n-1}, (k^{n+1}+1)^{n-1}, (k^{n+1}+1)^n) vérifient cette dernière.


Posted by: Zweig

Ah, aussi, on montre de même que l'équation

x^{n} + y^n = z^{n+1}

admet une infinité de couples (x,y,z).










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