Mathématiques - Valeur absolue...

Valeur absolue...
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Posted by: baldurs78

ReBonjour,

Une piste me suffirait , ou un exemple , bref voila mon equation avec laquelle je suis pas très ami...

|x| < $10^{-4}$ ==> $|\frac{1}{1+ x^2} -1|$ < $10^{-8}$

Merci pour vos futurs réponses ;)

Posted by: Imod

Il me semble qu'il suffit de majorer $x^2$ et $\frac{1}{1+x^2}$ et tu as immédiatement un majorant de $|1- \frac{1}{1+x^2}|=\frac{x^2}{1+x^2}$ .

Imod

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par baldurs78

ReBonjour,

Une piste me suffirait , ou un exemple , bref voila mon equation avec laquelle je suis pas très ami...

|x| < $10^{-4}$ ==> $|\frac{1}{1+ x^2} -1|$ < $10^{-8}$

Merci pour vos futurs réponses ;)

Ne voyant qu'un x, on peut aussi partir de
$3$ -10^{-8}<\frac{1}{1+ x^2} -1< 10^{-8}$
et aller de proche en proche vers x:
$3$ 1-10^{-8}<\frac{1}{1+ x^2} < 1+10^{-8}$

....

Posted by: nada-top

Citation:

Posté par Flodelarab

Ne voyant qu'un x, on peut aussi partir de
$3$ -10^{-8}<\frac{1}{1+ x^2} -1< 10^{-8}$
et aller de proche en proche vers x:
$3$ 1-10^{-8}<\frac{1}{1+ x^2} < 1+10^{-8}$

....

plutot partir de $3$\left|\frac{1}{1+x^2} -1 \right| \geq 10^{-8}$ pour en arriver à $|x| \geq 10^{-4}$ non?..ce qui revient à démontrer l'implication réciproque : $3$\left|\frac{1}{1+x^2} -1 \right| \geq 10^{-8}$ $\Rightarrow$ $|x| \geq 10^{-4}$

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par nada-top

OUI
aussi

Posted by: pitchoune

Pour moi, m'énoncé étant |x| < 10^-4 => |(1/(1+x²)) -1| < 10^-8, il faut partir du |x|<10^-4 et ajouter au fur et à mesure les élément.

Au final, j'arrive |(1/(1+x²))-1| < (10^-8/(1+10^-8))

et (10^-8/(1+10^-8)) < 10^-8

Posted by: nada-top

Citation:

Pour moi, m'énoncé étant |x| < 10^-4 => |(1/(1+x²)) -1| < 10^-8, il faut partir du |x|<10^-4 et ajouter au fur et à mesure les élément.

démontrer $|x| < 10^{-4}$ $\Rightarrow$ $3$\left|\frac{1}{1+x^2} -1 \right|< 10^{-8}$ ou $3$\left|\frac{1}{1+x^2} -1 \right| \geq 10^{-8}$ $\Rightarrow$ $|x| \geq 10^{-4}$ ça revient au meme : démontrer $A \Rightarrow B$ équivaut à démontrer $\neg B \Rightarrow \neg A$

Posted by: Imod

Pour moi la méthode la plus directe et la plus simple :

Si $|x| < 10^{-4}$ alors $0 \leq x^2 < 10^{-8}$ et $0 < \frac{1}{1+x^2} < 1$ .
Et en multipliant membre à membre on obtient :
$|1- \frac{1}{1+x^2}|=\frac{x^2}{1+x^2} < 10^{-8}$ .

Imod

Posted by: baldurs78

Merci pour vos réponse,

Je les ai lu et j'ai essayer d'abord de partir de l'encadrement de |(1/(1+x^2))-1) , mais je suis pas arriver a revenir a x<10^-4

LA réponse la plus simple est a mon avis celle de Imod sauf que je comprend pas comment tu passes a cela :
$|1 - \frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}<10^-8$

je n'y arrives pas dsl...

Posted by: Imod

Pour l'égalité tu mets au même dénominateur et pour l'inégalité il suffit de remarquer que :
$\frac{x^2}{1+x^2}=x^2 . \frac{1}{1+x^2}$ .

Imod

Posted by: baldurs78

Ou il fait tard ou je comprend vraimen pas ^^

$0<x^2<10^-8$ OK
$0<\frac{1}{1+x^2}<1$ OK

On multiplie:

$0*0<x^2 * \frac{1}{1+x^2} < 1*10^-8$

d'ou $\frac{x^2}{1+x^2}< 10^-8$

mais après comment tu arrive au résultat $|\frac{1}{1+x^2}-1 |< 10^-8$

Par quelle propriété on peut passer aux valeur absolu...?

Posted by: tize

J'ai pas tout suivi mais il me semble quand même que : $3$\frac{x^2}{1+x^2}=\|\frac{x^2}{1+x^2}\|< 10^{-8}$ et
$3$10^{-8}>\|\frac{x^2}{1+x^2}\|=\|\frac{x^2+1-1}{1+x^2}\|=\|1-\frac{1}{1+x^2}\|=\|\frac{1}{1+x^2}-1\|$

Posted by: Imod

Il me semblait pourtant avoir tout dit "pour l'égalité il suffit de réduire au même dénominateur" . S'il faut détailler allons-y :

$|\frac{1}{1+x^2}-1|=|1-\frac{1}{1+x^2}|=|\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}|=|\frac{x^2}{1+x^2}|=\frac{x^2}{1+ x^2}$ .

Imod

P.S : Tout ce que j'ai dit depuis le début était contenu dans mon premier message .