Urgent... Les mathematiques sont-ils une decouverte?

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Posted by: saluttt

J'aimerais avoir des arguments pour appuyer le point de vue du non... svp


Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par saluttt
J'aimerais avoir des arguments pour appuyer le point de vue du non... svp


Bonjour,

Un peu de convivialité ne nuit pas...cela aide à réfléchir!

Et si tu détaillais ton point de vue? Pourquoi voudrais-tu que les mathématiques ne soient pas une découverte?


Posted by: nuage

Salut,
Je suis plutôt partisant du "oui", mais tu peux lire "preuves et réfutations" de Lakatos.
Et y trouver des arguments.
Si le sujet t'interesse c'est, à mon avis, une lecture incontournable.


Posted by: yos

Bonsoir.
Les maths : découverte ou invention?
Grande question.
-Le théorème de Pythagore? Une découverte à n'en pas douter.
-Les espaces de Sobolev? On dirait plutôt une invention (même si elle était motivée).
Un simple regard montre qu'on ne cesse de basculer entre les deux aspects. Est-ce que le concept de groupe existait avant qu'on le découvrinvente? Dans un monde parallèle? Un monde des idées? C'est ce qu'aurait soutenu Platon. Il y a des arguments pour : à coup sûr des extra-terrestres ayant développé une civilisation évoluée auraient fini par dégager le concept de groupe (avec un autre nom!). Mais il y a du contre : une telle abstraction est une invention humaine au même titre que Dieu, la tarte aux fraises, et la poésie latine. C'est ce qu'aurait soutenu Aristote.
Platon contre Aristote. On y revient presque toujours.


Posted by: fahr451

finalement, si la question date de platon et d 'aristote le caractère d 'urgence pour une réponse semble peu recevable.


Posted by: BQss

Les mathematiques ne sont ni une decouverte ni une invention.
La sculpture n'est ni une decouverte ni une invention
La philosophie n'est ni une decouverte ni une invention.

Ce sont des prolongements naturels de la pensée de l'homme, de l'activité resultant de l'interaction de l'homme avec sont environnement ou encore des emmanations de notre condition humaine, notre logique, nos questionnements, notre amour du beau (specialement pour l'art, meme si le beau demandez a Erdos ;) veut bien dire quelque chose en math). Elle ne sont que des cadres ou des langage inherant a l'homme dans lequel nous pouvons créer mais ne sont pas elles meme des creations.

Exemple le language n'est pas une création, les dauphins ont un langage, les hommes prehistoriques faisait hu hu hu.
i.e les mathematiques ne sont pas une invention, ni une decouverte, elle sont en nous.

Par contre le francais, l'italien le latin , sont elle des langues et pas des langages, se sont des inventions de l'homme!
i.e la théorie des distributions en mathématique est une invention une langue issu du langage mathematiques.
La est la nuance.


Donc parler de mathematiques comme une invention ou une decouverte est une aberration. Ou alors chaque homme en est l'auteur. Tout les hommes prehistoriques faisait de l'arithmetique. Tiens nous etions un certains nombre(ils ne comptaient clairement), oh nous sommes 1 de moins maintenant:arithmetique. ou est-il, allons le chercher, tiens par la c'est plus long il faudrait contourner le chemin, traversons la riviere c'est plus court: optimisation etc...





Par contre les théorèmes!
Sont des decouvertes, car on decouvre une logique deja inherante au mathematiques elles meme, cela revient a decouvrir une grotte souterraine qui existait deja. Une oeuvre philosophique est une decouverte sauf si elle introduit de nouveau concept par le biais d'une nouvelle théorie abstraite, c'est alors une invention. Ou encore une sculpture est une invention mais LA sculpture n'est pas une decouverte ou une invention, c'est un moyen d'expression un langage.
Mais evidemment tout moyen d'expression tout language permet la creation, les maths sont un language a travers laquelle des langues et des grammaires peuvent naitre grace a l'homme ou existe deja, elles sont alors dans ce second cas inherantes au monde dans lequel elle existe. Le théorème des valeurs intermediaire est une decouverte. La joconde, l'avion, la théorie des groupe de galois sont-elles des inventions(la théorie des groupes est une invention au sens ou meme si elle met en evidence des liens remarquable existant deja et donc meme si a ce titre pourrait etre considéré comme une decouverte, construit en fait un cadre tout a fait innovant dans lequel un certains nombre de propriété sont réunis pour former un ensemble cohérent dans le but de decrire efficacement un probleme, un sujet. Decouvrir un lien entre certains objet mathematiques est de l'ordre de la decouverte, mais l'expliquer efficacement en regroupant des elements a premiere vu sans rapport pour créer un terrain favorable a une etude plus profonde d'un phenomene, c'est de l'ordre de l'invention. Galois a quelque sorte trouver la recette a partir d'ingredient qui etait a la base fait pour aller ensemble. Ce n'est pas parcequ'ils etaient fait pour aller ensemble que ce n'est pas une decouverte, une recette de cuisine est une invention meme si la science du gout prevoyait deja un succes en associant tel et tels ingredients dans la meme marmithe. La théorie des groupe de galois (enfin ce qu'il a dit ou ce qu'elle est devenu par la suite) est une invention car elle réunie un certain nombre d'element remarquable pour constitué une oeuvre mathematique cohérente.Et le resulta a tres bon gout.)

La theorie des distribution est elle aussi une invention de toute piece, les mathematiques (l'expression dans lequel intervient cette theorie) que Schwarz pratique n'ont été que le support commun a chaque individu depuis la nuit des temps. Les nouvelle techniques mathematiques sont les nouveaux outil du sculpteur, c'est a dire des inventions, le pinceau est une invention, l'ajout de la perspective en peinture par contre elle par exemple est une decouverte car inhérante a la justesse de la representaion picturale, comme un théoreme en mathematiques...

exemple:
matrice:invention
produit scalaire:invention
théorème de pythagore: decouverte
technique de resolution des equations du second degré: invention
preuve de l'existence de telle solutions:decouverte

Les mathematiques qui sont le cadre dans lequel tout ca intervient:langage

Ce qui est different d'une langue qui est une invention elle, exemple:théorie des distributions est une langue qui utilise le langage mathematique.


Posted by: BQss

Citation:
Posté par yos
Est-ce que le concept de groupe existait avant qu'on le découvrinvente? Dans un monde parallèle? Un monde des idées? C'est ce qu'aurait soutenu Platon.


Dire que la théorie des groupes n'est pas une invention c'est comme dire que la ratatouille n'est pas une invention. Meme si c'est une donnée inherante aux ingredients de la ratatouille et a sa preparation que le resultat sera "bon", (si toute fois "bon" est un terme absolu en cuisine), reunir ses ingredients constitue tout de meme une invention.

La théorie des groupes est un objet mathematique remarquable et meme un outil(donc une invention) capable de decrire d'autres objets d"une maniere simple et cohérente. Il fallait l'inventer, il fallait reunir les pieces necessaire pour monter cette théorie, c'est une construction de l'esprit.
La théorie des groupes n'est pas une decouverte et si Platon avait affirmé cela il se serait trompé, il faut faire la difference entre ce qui existe en tant qu'objet et ce qui existe en tant que vérité. Meme si la théorie des groupes a toujours existée en tant que vérité, tout comme la grue, les chaussures, ou le pain, (en effet dans le monde de la logique , le pain existait deja, car son but sa recette constitut un objet), elle n'existait pas en tant qu'element elementaire et constitutif des mathematiques, ni en tant que pilier sur lequel repose les mathematiques. La théorie des groupe existe bien dans un monde parallelle depuis la nuit des temps mais en tant qu'invention viable, en tant qu'objet descriptif, en tant qu'objet externe a la théorie elle meme, tout comme la joconde est une invention en tant qu'objet descriptif et qu'elle existait deja dans un monde parallele des creations possibles...

Au final la théorie des groupes n'est absolument pas la seule maniere de decrire ce qu'elle peut decrire, mais en tout cas c'est une maniere tres simple et cohérente de les decrire, c'est en cela qu'elle est une invention et pas une decouverte, elle n'existe que parcequ'on a voulu lui donner vie. Elle n'existait pas dans l'univers mathematique mais dans un univers ou l'homme les met en forme. Quand l'homme decrit les mathematiques ou ses propriétés, il decouvre, mais quand il met en forme des théories efficaces pour les analyser il invente et depasse les mathematiques. Il humanise suivant sa logique des conceptes abstraits pour mieux comprendre ensuite. Tout ce qui a un caractere anthropomorphique est par essence une invention et la théorie des groupes est externe aux mathematiques, c'est une modelisation structurelle emmanant de l'esprit genial d'un homme. Les mathemaituqes ne sont pas geniaux, tout comme la peinture n'est pas genial. Mais savoir comprendre les mathematiques, les utiliser peut etre geniale.
Picasso ou Galois le sont, geniaux par ce qu'il font de leur art. Leur art est tout ce qui il y a de plus vulgaire, par contre ce qu'ils arrivent a en extraire est lui remarquable. C'est l'homme le phenomene pas cet univers qui n'a rien demandé (ni nous d'alleurs mais en tout cas nous en avons conscience et c'est bien pour ca qu'on cherche a le comprendre).

L'or n'est rien si l'homme ne lui donne pas son aractere precieux, les mathematiques ne sont rien si on ne s'en sert pas pour decrire notre monde.
Les mathematiques deviennent interessante quand on les utilise pour comprendre le monde, sans l'homme elle resteraient a l'etat d'objet fictif comme la litterature, la philosophie. L'univers n'a pas besoin des maths pour exister, mais nous en avons besoin pour le comprendre... Les maths existerait sans l'homme mais en tant qu'objet utilisable par une logique humaine pour decrire l'univers. Qui vous dit qu'un autre objet n'est pas plus a meme de decrire l'univers, rien, les maths sont en nous, car c'est l'emmanation de notre reflexion et pas l'inverse.
Si nous regardons un triangle rectangle, c'est avec nos yeux d'homme, si nous voyons des cotés mesurables, c'est que nous admettons le concept de distance, si enfin nous constatons que les cotés issus de l'angle droit ont une longeur liés a celle de l'hypothénuse c'est que nous admettons le concept de somme et d'egalité. Au final nous n'avons fait que créer un modele (une quantité d'axiome mathematiques) dans lequel un triangle rectangle devenait un objet remarquable. Cet objet remarquable est inherant au mathematiques mais sans l'homme ce concept serait inerte car l'univers n'a que faire des axiomes de distance ou de la notion d'egalité, cela reste une modelisation a l'echelle humaine, car nous concevons le monde en terme d'equivalence, d'egalité et c'est notre maniere de le comprendre. Mais une nouvelle fois rien ne dit que les propriétés du triangle rectangle ne soient pas en fait issu d'une logique bien plus generale dont nous homme ne maitrisons pas le langage. A ce titre les mathematiques reste un prolongement de notre maniere de penser et un triangle rectangle n'existe qu'a travers une verité relative a notre maniere de concevoir les objets et l'univers. Les maths ne decrivent pas tous car ils sont prisonniers d'axiomes relatif a notre logique humaine. Comment se fait-il qu'il ne puisse pas prouver l'existence ou la non existence de Dieu?

De la meme maniere que nous voyons un objet rouge que parceque c'est comme ca que nos sens traduisent la longueur d'onde qu'il n'absorbe pas, 2+2 font 4 (en arithmetique ) car c'est comme ca que notre logique interprete cette somme que nous avons du concevoir au prealable d'ailleurs... Les mathematiques sont un langage et a ce titre la theorie de galois est une invention de l'homme, une oeuvre mathematique.


Posted by: yos

Que de certitudes BQss!
Alors allons-y :
Les nombres premiers : invention humaine ou bien ils existent en dehors de nous?


Posted by: MikO

:) pour une fois un sujet interessant dans le café


Posted by: BQss

Citation:
Posté par yos
Que de certitudes BQss!
Alors allons-y :
Les nombres premiers : invention humaine ou bien ils existent en dehors de nous?

Je ne suis sur que de ne pas savoir et je ne suis affirmatif que dans mon ignorance et quand je prend de la distance. En ne sacralisant pas les mathematiques et en essayant de mettre tout ca en perspective , je ne peux pas me montrer certain, vu que je n'affirme pas des verité mais decrit des concepts, a ce titre la je ne dresse qu'une typologie et ne pretend pas connaitre la nature propre des choses. Mon texte est parsemé de questions implicite ou explicite, "qui nous dit que les mathematiques ne sont pas issus d'une logique plus globale", comment se fait-il qu'elles ne puissent prouver l'existence de Dieu", "les mathematiques ne sont pas une decouverte ou une invention ou alors chacun de nous en est l'auteur...", "en somme nous tous l'auteur alors?".
Au final je ne fais que d'associer des definitions, "invention", langage", "langue", "axiome" a des objets "matrice", "mathematiques", "homme"? Rien de bien mechant, on pourrait presque dire que c'est de la dialectique et que je ne suis qu'un pauvre sophiste qui ne fait que de tourner autour du pot sous un ton qui peut paraitre peremptoire mais qui au final traduit beaucoup d'incertitude et un desir profond de classer les choses non pas dans des cases instable et inadapté mais dans un univers ou chaque objet serait lié de maniere cohérente a d'autres objets. En decrivant les objets de maniere supraclasse et en dressant une typologie j'evite de decrire l'essence des objets et ca m'arrange bien. C'est mieux pour mon confort intelectuel et a mon avis plus efficace, parfois on comprend mieux un objet par ce qui le lie aux autres qu'en essayant de le decrire independemment de l'univers dans lequel il existe.

Je laisse les mathematiques a l'etat de phenomene et donne de la limite a mon discours en disant que je ne peux que avoir conscience du fait que le noumene enferme peut-etre des "sciences" plus élaborées sans pouvoir dire quoi.


En ce qui concerne les nombres premiers, c'est une decouverte, par contre, la technique des congruences est une invention.
Une decouverte est un constat, on constate qu'il y a des nombres premiers.
Une invention doit avoir une utilité autre que celle de comprendre et a partir de ce moment la, a partir du moment ou elle implique une autre utilité que la seule compréhension elle fait appel a notre condition d'homme et fait intervenir notre créativité, ce qu'il en resulte c'est un objet externe aux mathematiques.
Les congruences sont une inventions, c'est un outil. L'algorythme d'euclide c'est une invention.
La théroie des groupes est une invention car elle crée le lien entre plusieurs objets, théorise sur la base d'un logique humaine qui a besoin de disposer les objets en classe d'equivalence, de faire des analogies pour s'en servir efficacement dans un deuxieme temps... Les mathematiques sont un ensemble de connaissances, ce qui lit ces connaissances entre elle pour s'en servir ensuite, c'est du domaine de l'invention. La théorie des groupes c'est un outil descriptif ou d'analyse, pas la nature meme des objets. C'est nous qui rendont les mathematiques cohérente, parcequ'elles nous le permettent, ses axiomes sont nos evidences pas celle d'un extra terrestre. D'ailleurs parfois meme elles se heurtent a des contradictions, car meme nos plus evidentes certitude une fois qu'elles sont confrontées a d'autres aussi forte se trouvent ebranlées. Quand les mathematiques en vienneent a la structure il arrive que de facheux paradoxe aparaissent et je ne suis pas un specialiste des mathematiques structurelles mais il me semble bien que s'il peut y avoir des ecoles mathematiques differentes, s'il y a pu y avoir differentes ecoles de pensée mathematiques, c'est bien que leur universalité s'arrete la ou commence leur analyse( naturellement, je parle de leur comprehension profonde, pas des technique universellement "admise", la logique humaine elle, est bien universelle, ce qui ne l'est pas, c'est la facon de comprendre les mathematiques...).


Posted by: yos

Citation:
Posté par BQss
Au final la théorie des groupes n'est absolument pas la seule maniere de decrire ce qu'elle peut decrire, mais en tout cas c'est une maniere tres simple et cohérente de les decrire,

Je suis pas aussi catégorique. La notion de groupe a émergé progressivement exactement comme a émergé la notion de nombres entiers il y a des milliers d'années. Ca n'a rien à voir avec Galois ou Lagrange en ce sens que à quelques décennies près, on aurait défini le concept de groupe de toutes façons. C'est en ce sens que cela s'apparente plus à une découverte qu'à une invention. Tu as parlé des distributions de Schwartz : l'historique de leur découverte montre bien la nécessité de ce concept à l'époque de leur "découvertinvention" : plusieurs mathématiciens de par le monde était sur la même piste et si Schwartz n'avait pas abouti, on aurait attendu une ou deux décennies et le même concept aurait été dégagé. Un peu comme s'il existait "quelque part" en dehors de nous. Ne te méprends pas, je crois pas en Dieu.


Citation:
En ce qui concerne les nombres premiers, c'est une decouverte, par contre, la technique des congruences est une invention.


Pourquoi les nombres premiers seraient une découverte alors que les entiers eux-mêmes constituent une invention humaine?
Une fois admis l'"existence" des entiers et démontrées les propriétés de la divisibilité, qu'un entier a soit congru ou non à un entier b modulo 13 est un fait. Je ne vois pas ce qu'il y a d'inventé là-dedans.

Je voulais juste dire qu'il y a matière à s'interroger. Pour ma part je n'ai pas trop de certitudes.

Il est intéressant de remarquer que cela n'est pas propre aux maths : par exemple l'énergie ou la masse en physique sont autant des inventions que des découvertes à mon avis.


Posted by: BQss

Citation:
Posté par yos
Je suis pas aussi catégorique. La notion de groupe a émergé progressivement exactement comme a émergé la notion de nombres entiers il y a des milliers d'années. Ca n'a rien à voir avec Galois ou Lagrange en ce sens que à quelques décennies près, on aurait défini le concept de groupe de toutes façons. C'est en ce sens que cela s'apparente plus à une découverte qu'à une invention. Tu as parlé des distributions de Schwartz : l'historique de leur découverte montre bien la nécessité de ce concept à l'époque de leur "découvertinvention" : plusieurs mathématiciens de par le monde était sur la même piste et si Schwartz n'avait pas abouti, on aurait attendu une ou deux décennies et le même concept aurait été dégagé. Un peu comme s'il existait "quelque part" en dehors de nous. Ne te méprends pas, je crois pas en Dieu.



Le caractere ineluctable que tu decris de la creation de la théorie des groupes(oui la theorie des groupes d'aujourd'hui a été serieuseument etoffée et etendue a d'autres domaines depuis Galois biensur) je ne le vois pas comme inherante aux mathematiques, je le vois comme indispensable a notre comprehension des mathematiques. C'est la que reside la nuance. C'est un objet de comprehension car il classifie les mathematiques, les modelise relativement a notre facon d'analyser afin que notre logique d'homme puisse mieux les comprendre.

Pareille pour la theorie des distributions, le fait qu'elle etait desitinée a voir le jour n'est pas incompatible avec le fait que ce soit une invention, c'est une invention de l'Homme avec un grand H.

Par exemple les lances ou les outils prehistoriques, ont été inventé de part le monde a different lieu par des multitudes d'hommes. C'etait leur destiné d'etre créer. Ces outils sont pourtant bien des inventions(le caractere elitiste des mathematiques fait que generalement il n'y a pas chevauchement et chaque invention peu etre attribué a un homme, cependant meme en mathematiques plusieurs hommes peuvent arriver a des conclusions similaires, cf les travaux d'Abel de Gauss et de Galois au 19eme, ). Mais l'universalité n'est pas forcement synonime de decouverte, pour qu'un objet soit une decouverte il faut que son existence meme soit etrangere a notre nature, si Galois Abel et Gauss traitaient des problemes similaires de facon analogue c'est bien parce que tout homme a la meme facon de reflechir et donc la meme facon d'aborder les mathematiques(pour autant des sensibilités differentes ont pu deboucher sur des ecoles de pensées differentes, preuve que pour detacher l'homme des mathematiques et comprendre ce qui est relatif a l'un ou a l'autre il faut s'y mettre avec force, notre propre sensibilité allant jusqu'a devenir egalement un facteur interferant sur son etude ) . Le concept de groupe est ainsi batti sur une logique humaine et sur une facon humaine de voir les choses. Si tu ne dissocies pas l'homme de l'universalité quand tu parles de decouverte comment peux tu dire que cet objet n'est pas en fait lié a la nature propre de l'homme et a sa propre facon d'aborder les problemes?

Quantité d'invention humaine etaient destinées a voir le jour. La carte a puce aurait fini par etre inventée, la mongolfiere et l'avion aussi. Pourtant ces objets sont bien des inventions.

Il y a une nuance importante entre ce qui est destiné a etre créé, et ce qui existe independemment de l'homme. La theorie des groupes c'est une maniere utile efficace et profonde que l'homme a trouvé pour relier des objets mathematiques entre eux, cela ne definie pas les objets mathematiques eux meme. Le fait que cette theorie etait voué a voir le jour est plutot lié a mon sens a la nature de l'homme et a sa facon de penser. C'est a dire que si cette theorie etait predestinée, c'est parce que l'homme ou en tout cas les mathematiciens sont doté de la meme logique humaine et que celle ci a tendance a s'orienter vers les meme facons de modeliser les mathematiques via la meme tendance a constamment structurer et chercher des equivalences pour mieux comprendre. Mais cette maniere n'est pas la seule de comprendre les mathematiques, c'est une maniere humaine en tout cas et meme si la theorie des groupes est surement je suis d'accord avec toi la seule maniere humaine de comprendre certains objets mathematiques sous un certains aspect, les mathematiques ne sont pas humaines et il faut dissocier notre facon de les analyser de leur essence meme.

Ce que tu dis, ton argument n'est absolument pas incompatible avec ma vision des choses, juste que nous l'interpretons differamment. Je n'associe pas l'ineluctable a la structure de ce qu'elle decouvre mais a la structure de celui qui l'a decouvre. En cela la theorie des groupes n'est pas une decouverte a mon sens mais une invention naturel tout comme le tir bouchon, les habits ou le pain, qui etait en nous et non inherant aux mathematiques.

Toute la nuance de mes propos depuis le debut reside justement dans la difference entre ce qui est commun aux mathematiques et ce qui est commun a l'intelecte de l'homme.

Pour moi la theorie des groupes n'existe que parce que pour comprendre, l'homme a besoin d'emprunter certains chemins truffés de syllogismes, d'analogies et d'extrapolations...
Les nombres premiers eux, ne relie aucun concepte entre eux, c'est juste un constat, certains nombre ne sont pas divisible a part par eux meme et par 1, point. La theorie des groupes est un outil d'analyse... Une autre espece, dotée d'une autre logique n'aurait pas forcement eu besoin d'analyser via ce procedé certains objets mathematiques pour les comprendre. Imaginons une espece extraterrestre qui au lieu de comprendre par analogie comprenait par dissimetrie. La "correspondance" de Galois deviendrait la dissimetrie de E.T, cette theorie n'est pas inherante au mathematiques, mais plutot a la facon dont l'homme les comprend...

Pour ce qui est des nombres premiers, ET qui aurait a resoudre un probleme de division, constaterait la meme chose, s'il faut fixer une limite entre la decouverte et l'invention je la fixerais ici, c'est a dire la ou je me contente de constater je ne fais pas intervenir ma logique d'homme mais une logique inherante aux mathematiques. Le concepte de division n'est pas un concept humain mais fondamental et mathematiques, ou ai je besoin de postuler, d'amorcer des analogies, de comparer d'extrapoler, de reflechir en tant qu'homme quand je divise, nulle part, je dois l'admettre seuleument. Un enfant comprend ce qu'est une division comme il comprend ce qu'est l'eau ou la terre et c'est une des premieres notions mathematiques qu'il apprend, il admet qu'on peut diviser, c'est a dire quelque chose d'aussi fondamental que d'aditionner ou de boire, le temps s'additionne continument, les planetes se construisent par addition de matiere et elles se brisent en se divisant, un animal divise sa part en deux si elle est trop grosse, il la fractionne. La theorie des groupe est par contre une maniere humaine de comprendre des objets mathematiques complexe notamment en cherchant des equivalences comprehensibles, elle est tres humaine par sa facon de relier certains objets, elle ne s'admet pas elle se comprend et s'apprecie meme.

Citation:
Un peu comme s'il existait "quelque part" en dehors de nous.

La ou nous divergeons est representé par cette phrase. Je vois justement cela comme quelquechose qui devait sortir de nous qui emmane de notre logique. Certaines inventions sont aussi vouées a naitre, du livre en passant par les immeubles jusqu'a la theorie des distributions.










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