Union, intersection d'ensembles !

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Posted by: barbu23

Bonsoir:
J'ai une question un peu stupide à vous poser :
Est ce que si : $\ K \subset \bigcup_{i \in I} U_{i} $ alors : $\ K = \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K) $.
et merçi infiniment !!


Posted by: Joker62

Moi quand je bloque sur des problèmes ensemblistes de base ( parce que c'est basique là ) je dessine plein de patate partout et ça rend bien :)

Ici, tu peux même te le traduire dans la tête.

Un cercle dans un groupe de cercle vaut-il l'union des intersections de chaque cercle avec celui-ci.

La réponse est naturellement oui.
Enfin pour moi c'est naturel.


Posted by: barbu23

C'est clair l'inclusion directe :
D'abord pour : $\ K \subset \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K) $.
Soit : $\ x \in K $.
Par hypothèse : $\ x \in \bigcup_{i \in I} U_{i} $.
$\ \Longrightarrow $
$\ \exists i_{0} \in I $ : $\ x \in U_{i_{0}} $ et $\ x \in K $
$\ \Longrightarrow $
$\ x \in U_{i_{0}} \bigcap K $
$\ \Longrightarrow $
$\ x \in \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K) $
Par conséquent: $\ K \subset \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K) $


Posted by: barbu23

Pour l'inclusion reciproque, c'est aussi clair :
On a : $\ \forall i \in I : U_{i} \bigcap K \subset K $.
Par conséquent : $\ \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K) \subset K $.
D'où le résultat !
D'accord Joker , je vais suivre tes conseils desormais ..!! merçi quand meme .. !!


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par barbu23
si $\ K \subset \bigcup_{i \in I} U_{i} $ alors $\ K = \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K) $.

\ K \subset \bigcup_{i \in I} U_{i} essyae de voir cet fromule comme ca: K est un ensemble d'habitants d'un hotel et les U_i sont les chambre de cet hotel.
alors il est calir mtn que l'ensemble K des habitants de cet hotel est egale a l'union des habitand de chaque chambre ( U_i\cap K)
d'ou \ K = \bigcup_{i \in I} (U_{i} \bigcap K)










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