Bonjour je voudrais montrer que le ln est non uniformement continue sur R*+
( en tout cas c'est ce que je pense)
Sur [a ,+00[ le ln est 1/a lipschitzien donc unif continue
Donc on peut essayer sur ]0,a] est-on obligé de travailler avec les epsilon
et eta ? en tout cas je ne vois pas comment m'en sortir.
Merci
Posted by: tutu
Bonjour,
On a 1/x < |ln(x)-ln(y)|/|x-y| < 1/y (avec x > y, par le T.A.F) donc le
rapport |ln(x)-ln(y)|/|x-y| ne peut pas être uniformément borné
pour 0 < |x-y| < alpha
Donc ln n'est pas uniforménent continue sur IR+*
Fabien Cayla a écrit:
> Bonjour je voudrais montrer que le ln est non uniformement continue sur R*+
> ( en tout cas c'est ce que je pense)
>
> Sur [a ,+00[ le ln est 1/a lipschitzien donc unif continue
> Donc on peut essayer sur ]0,a] est-on obligé de travailler avec les epsilon
> et eta ? en tout cas je ne vois pas comment m'en sortir.
>
> Merci
>
>
Posted by: Romain Mouton
tutu a écrit :
> Bonjour,
>
> On a 1/x < |ln(x)-ln(y)|/|x-y| < 1/y (avec x > y, par le T.A.F) donc le
> rapport |ln(x)-ln(y)|/|x-y| ne peut pas être uniformément borné
> pour 0 < |x-y| < alpha
>
> Donc ln n'est pas uniforménent continue sur IR+*
Tout ce que ça dit, c'est que ln n'est pas lipschitzienne. Ce n'est pas
encore l'uniforme continuité (rappelons que x->sqrt(x) n'est pas
lipschitzienne sur IR+, mais est uniformément continue).
Maintenant, le simple fait que ln tende vers moins l'infini en 0 suffit
à montrer la non uniforme continuité sur tout intervalle ]0,a] (et c'est
vrai pour toute fonction non majorée sur un intervalle fini).