Mathématiques - unicité

unicité
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: mt2sr

soit a1,...,an des entiers naturels non tous nuls tel que
$(\prod_{i=1}^{n}(2a_i+1))+1=2\prod_{i=1}^{n}(a_i+1 )$
Montrer qu'il existe un unique i tel que $a_i<>0$

et dites moi qu'est-ce que vous pensez de mon exercice
j'ai démontré le résultat mais je trouve que ma dem est un peut long j'espère que vous trouviez une plus astisuse est courte

Posted by: aviateurpilot

dsl,
mon erreur ici c'est cette egalité fausse.
$card(\{xy| x|m et y|m\})=card(\{x|\ x|m\})^2$

je vais posté une autre demo.

Posted by: namfoodle sheppen

je pense que tu t'es trompé quelque part parce que pour a1=1 et ai=0 pour i different de 1 l'égalité est vérifié

Posted by: mt2sr

ai<>0 ca vaut dire ai différent de 0
aviateurpilot je crois que vous avez comi une erreur ExE est symétrique donc l'inégalité suivante est incorrecte

Posted by: aviateurpilot

soit $\{b_1,b_2,..,b_k\}=\{a_i|\ a_i\neq 0\}$ ( $k>0$ )
soit $m=\bigprod_{i=1}^k{p_i}^{b_i}$ avec $(p_i)_{i=1...n}$ des premiers $\neq$ .
$\bigprod_{i=1}^{n}(2a_i+1)+1=2\bigprod_{i=1}^{n}(a _i+1)$
equiv à $\bigprod_{i=1}^{k}(2b_i+1)+1=2\bigprod_{i=1}^{k}(b _i+1)$
equiv à $d(m^2)+1=2d(m)$ ( $d(x)=card(E_x)\ avec\ E_x=\{d>0|\ d|x\}$ ).
$\forall x\in E_{m},\ x\ et \frac{m^2}{x}\in E_{m^2}$
donc $E_{m^2}$ contient $S=\{x,\frac{m^2}{x}/\ x|m\}$
et il est facile de remarquer que $card(S)=2d(m)-1=d(m^2)=card(E_{m^2})$
donc $E_{m^2}=S$
on a ${p_1}^{2b_1}|m^2$ et ${p_1}^{2b_1}\not|m$
donc il exist $x|m$ ( $ax=m$ ) tel que ${p_1}^{2b_1}=\frac{m^2}{x}$ (car $E_{m^2}=S$ ) <=> $am={p_1}^{2b_1}=a\bigprod_{i=1}^k{p_i}^{b_i}$
donc $k<2$ , sinon $p_2|p_1$ ce qui est impossible.
et par suite $k=1$ et $(2b_1+1)+1=2(b_1+1)$
=> $card(\{a_i|\ a_i\neq 0\})=k=1$
concluion: il y a un unique elment non nul $b_1$ parmi les $(a_i)_{i=1..n}$

Posted by: mt2sr

b1 est quelconque pas forçement 1

Posted by: redwolf

Mon dieu que c'est compliqué !!!
Aviateurpilot est parti dans la stratosphère !

Prenons un $a$ entier naturel.
$\displaystyle \frac{2a+1}{a+1}=2-\frac{1}{a+1}$
Ce quotient est égal à 1 si $a=0$ et est supérieur à $\displaystyle \frac{3}{2}$ si $a \neq 0$ .

Si plus d'un des $a_i$ est non nul, le produit des quotients correspondants est supérieur à $\displaystyle\frac{9}{4}>2$ . C'est une contradiction (l'énoncé prévoit que le produit des $\displaystyle \frac{2a_i+1}{a_i+1}$ est inférieur à 2).

Posted by: mt2sr

pourquoi >9/4

Posted by: redwolf

S'il y a deux facteurs supérieurs à $\displaystyle \frac{3}{2}$ , tous les autres étant supérieurs à 1, le produit est supérieur à $\displaystyle \frac{9}{4}$ .

Posted by: yos

Ce (2a+1)/(a+1) et aviateurpilote me rappellent un exercice dont j'attends encore la solution :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=16876

Posted by: mt2sr

pour l'exercice proposé par yos d(n²)/d(n)=k
l'ensemble k est les entiers impaires reste à prouver ce résultat au donner un contre exemple

Posted by: mt2sr

je crois qu'il faut procéder comme suit
pour k=2p+1 ensuite construire n tel que d(n²)/d(n)=2p+1

Posted by: mt2sr

on pose k=2p+1 alors k+1 est nombre pair on considère t tel $2^t$ la plus grande puissance de 2 qui divise k+1 et ensuite exprimer $a_i$ en fonction de t et k ( $a_1,...,a_t$ )
j'arrive pas encore à exprimer les ai mais je suis sûr que c'est une bonne piste

Posted by: Imod

Bonne idée mt2sr , j'ai réussi à conclure que tous les k impairs sont solutions par récurrence en utilisant ton t

. Je te ( vous ) laisse chercher encore un peu .

Imod

Posted by: mt2sr

Citation:

Posté par Imod

Je te ( vous ) laisse chercher encore un peu .
Imod

j'ai pu le démontrer par récurence j'aimerai savoir comment tu as procédé
je continue à chercher une autre solution sans récurence

Posted by: Imod

On a vu que $\frac{d(n^2)}{d(n)}$ est impair et $\frac{d(1^2)}{d(1)}=1$ . Montrons par récurrence sur $m$ entier positif impair qu'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $\frac{d(n^2)}{d(n)}=m$ .
Supposons la propriété établie pour $j$ impair et $1\leq j<m$ .
Notons $k$ la valuation 2-adique de $m+1$ ( ie : $2^k$ divise $m+1$ et $2^{k+1}$ ne divise pas $m+1$ ) et $\displaystyle{x=\frac{(2^k-1)m-1}{2^k}=m-\frac{m+1}{2^k}\in \mathbb{N}}$ .
Alors $\displaystyle{m= \frac{2x+1}{x+1}\ .\ \frac{4x+1}{2x+1}\ . \ ... \ . \frac{2^kx+1}{2^{k-1}x+1}\ .\ \frac{x+1}{2^k-1}}$
Or $\displaystyle{\frac{x+1}{2^k-1}=\frac{m+1}{2^k}}$ est entier impair et inférieur à $m$ .

Imod

Posted by: mt2sr

j'ai utilisé le meme x=m-q tel que q le quotient de m+1 par 2^t en utilisant la div euclidienne