unicité ...

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Posted by: rifly01

Bonjour,

Comment peut-on justifier l'unicité d'un polynôme ?

Par exemple : polynômes d'Euler ...


Merci d'avance


Posted by: yos

Sans condition on peut pas.


Posted by: fahr451

dis nous en plus


Posted by: rifly01

J'ai deux sortes de polynômes

Euler
P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n

Bernoulli
\{f_p(X)-f_p(X-1)=X^p\\f_p(0)=0


Posted by: fahr451

f : P-> P +P(X+1) est un isomorphisme de E = Rn[X] d'où existenc et unicité de Pn ds E antécédent de 2X^n par f


Posted by: rifly01

Stop stop ... lol

On a pas fait ca encore les Xmorphismes ... Il n y a pas d'autres explications à part celle-la ?


Posted by: fahr451

tu ne connais pas l 'algèbre linéaire?

aucune importance

tu écris P sous forme indéterminée avec ses coeffs

et tu te rends compte (en developpant avec la formule du bin^^ome de newton) que tu obtiens un système linéaire en les coeffs système triangulaire avec sur la diagonale des coeff non nuls d'où existence et unicité de la solution.


Posted by: rifly01

Juste le début,

Groupe, sous-groupe, corps, sous-corps, anneau, sous-anneau

et encore on a fait ca en une seance .


Posted by: rifly01

J'avais fait ca, mais je ne sais pas si c'est juste.

On a deg(P_n(x))=deg(2x^n)=n

On pose : P_n(x)=ax^n+b
alors P_n(x+1)=a(x+1)^n+b=ax^n+nax^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}ax^{n-2}+...+a+b
ainsi P_n(x)=2x^n-P_n(x+1)=(2-a)x^n-nax^{n-1}x^{n-1}-\frac{n(n-1)}{2}ax^{n-2}-...-a-b

Une fois ici, je ne sais pas quoi faire, et enocre moins ce qui peut m'affirmer l'unicité.

Que dois-je faire par la suite ?


Posted by: fahr451

il y a n+1 coeff pour Pn a(n) , a(n-1),...a(0)


Posted by: rifly01

Oui je vois qu'il y a n+1 coeff

C'est à dire que 0 n'est pas racine ... Je ne vois pas vraiment.


Posted by: fahr451

je t ai expliqué

développer le polynôme et malgré l aspect complexe du système en a(n),...a(0) se rendre compte qu'on pourra calculer a(n),...a(0) successivement (le système est triangulaire)


Posted by: rifly01

Re -

Je ne vois pas ... vraiment


Posted by: fahr451

fais n= 3 pour comprendre

P = aX^3 +bX^2 +cX+d

développe P(1+X) et écris le système en a,b,c,d


Posted by: rifly01

Merci,
##########################################
#####################################ERREUR


Pour n=3, on a :
P_{3}(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
et P_3(x+1)=ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx+c+d

Ainsi P_3(x)-P_3(x+1)=-3a^2-3ax+2bx+a+b+c=2x^{3}

Par identification des coeff :

\{-3a=0\\-3a+2b=0\\a+b+c=0
On obtient a=0, b=0, c=0
P_3(x) est le polynome nulle..

C'est correct ca .?


Posted by: fahr451

on veut que P+P(1+x) = 2 X^3 et non 0


Posted by: rifly01

ah je vois ma faute, j'ai confondu avec le polynôme de Bernoulli,

Je corrige.

On a :
P_3(x)+P_3(x+1)=2ax^3+(3a+2b)x^2+(3a+2b+2c)x+a+b+c +2d=2x^3

Et on obtient par identification :

a=1, b=-\frac{3}{2}, c=0, d=\frac{1}{4}
Donc P_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}

Et a partir d'ici comment voit-on l'unicité


Posted by: fahr451

résoudre le système c est chercher P; il y a existence et unicité de la sol du système


Posted by: rifly01

Merci beaucoup pour votre aide.
J'ai bien compris maintenant. (après 19 posts lol)










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