Une equation differentielle

[jessifer]

Bonjour,
j'ai un systeme d'equation differentielle a resoudre pour un probleme de physique:




k1,k2,k3 sont des constantes positives,
Avec quelques approximations:
a=1/3 et b=2/3
c=5/3 et d=1/3

Comme ca m'a l'air bien complique, meme avec les approximations, il est possible de simplifier la 2e equation en l'exprimant en fonction de X uniquement :


C'est sur cette equation que je bloque (j'imagine que je peux laisser tomber la premiere).
Sans le second membre, je trouve:
Mais ensuite, je ne sais pas ce qu'il faut poser pour calculer l'equation avec le second membre.

Je cherche une solution simple. Peut etre est-il possible d'approcher ensuite la solution avec un DL pour reinjecter X dans la premiere equation ?

si quelqu'un peut m'aider, ce serait sympa.

Merci

[JeanJ]

Salut jessifer,

je ne sais pas à quel niveau se situe ton problème. En tout cas, si tu cherches à le résoudre analytiquement, c'est d'un HAUT niveau de mathématiques : Il vaut mieux avoir une bonne connaissance de certaines fonctions spéciales.
L'équation simplifiée dX/dz = k2.z² - k3.X² n'est pas une équation de type linéaire. Donc ça ne sert strictement à rien de résoudre l'équation "sans second membre".
En fait on reconnait une équation de Riccati (voir dans la littérature la méthode pour attaquer ce genre d'équations).
Heureusement, elle est relativement simple. Pour cette équation là, il suffit faire le changement de fonction en posant :
f(z) = (dX/dz)/(k3.X)
En dérivant et en reportant dans l'équation différentielle, avec quelques arrangements, tu obtiendra une équation différentielle linéaire du second ordre dont l'inconnue est la fonction f(z).
Tu reconnaitras alors qu'il s'agit d'une équation de Bessel.
La fonction f(z) sera donc trouvée sous la forme de fonctions de Bessel.
Il faudra reporter ce résultat dans f(z) = (dX/dz)/(k3.X) puis intéger ces fonctions de Bessel pour obtenir ln(X).
En résumé, sauf erreur de ma part (et selon ce que je peux apercevoir dans ma boule de cristal), X(z) devrait se présenter comme une exponentielle de fonctions de Bessel.
Bon courage ...
Mais, s'agissant d'un problème de physique, j'ai l'impression qu'il faudrait plutôt s'orienter vers de la résolution par calcul numérique.

[jessifer]

Bonjour JeanJ

Merci pour la reponse !
Apres avoir retourne l'equation dans tous les sens, j'en suis venu a la conclusion que la solution devait etre compliquee.
En fait, je cherche une solution approchee simple, par exemple en loi puissance de type X=z^a + z^b et Y=z^c + z^d.
sinon, cela n'a en effet peu d'interet.

- Savez vous, si d'apres ce que vous dites (solution en e^(F_de_bessel)),
je peux faire ensuite un developpement limite pour trouver une solution simple en loi puissance ?
(X et Y s'annulent en 0, je ne sais pas si ca aide, et la solution numerique sur l'intervalle qui m'interresse (de 0 a une valeur fixee augmente pour X puis diminue, augmente pour Y).

- Ou bien s'il existe directement une methode de resolution en posant les solution comme une somme de 2 termes de la forme ci dessus puis en cherchant les coefficients (ou bien de la forme e^quelquechose)

- Et dans ce cas, est ce possible de le faire directement sur la premiere equation ?

- Ou bien savez vous si un logiciel de calculs mathematiques me donnerait une solution de ce type ?

Merci beaucoup.

[JeanJ]

Premièrement, pour en arriver à la formulation d'une exponentielle de plusieurs fonctions de Bessel (peut-être deux, mais pas une seule), il ne faut pas oublier que ce ne sera pas simple.
Ensuite, si on veut approcher par une formule simplifiée, voire un développement en série, bonjour le travail ! Bien que l'on puisse trouver certaines choses dans les handbooks de fonctions spéciales.
Mais, je ne crois pas que ce soit bien réaliste.
Déjà, tu as fait des approximations pour arriver à une équation différentielle très simplifiée par rapport aux système d'équations de départ. Peut-on maîtriser les déviations sur le résultat que toutes ces approximations successives provoquent ?
Ne serait-il pas plus rassurant de conserver le système initial de deux équations et de le résoudre par une méthode de développement en série ?
Evidemment, plus le nombre de termes des développements est grand, plus les formules se compliquent, mais plus on obtient un résultat valide sur un plus large domaine, ce qu'il faut contrôler in-fine de toute façon.
Toutefois ce ne serait pas des formules telles que tu les souhaites :
>
Ce serait des développement en série du genre :
X(z) = X0 +X1*z +X2*z² + X3*z^3 +...
Avec les coefficients X0, X1, X2, X3, etc. calculés analytiquement.
Idem pour Y(z)
Si on reporte ces expressions dans le système d'équations, en théorie, on peut calculer les coefficients par identification. Evidemment, c'est du calcul bourrin, possible en principe. Mais qui devient rapidement tellement volumineux et pénible que je doute que l'on puisse aller suffisemment loin.
Il serait possible d'y arriver de façon un peu moins pénible en procédant de façon différente.
Encore faut-il que le jeu en vaille la chandelle, c'est-à-dire qu'un résultat sous cette forme de DL réponde bien à ton besoin.
Si oui, je pourrais d'aider pour débuter, mais pas sur ce forum. En effet, il ne semble pas possible de poster ici des documents joints. Je n'ai ni l'envie, ni le temps de dactylographier des formules volumineuses en Latex. S'il s'agit de photocopier des formules écrites manuellement, d'accord, mais pas plus.
Au cas où cette méthode par DL t'interesserait tu pourrais poser ton problème sur un autre forum où il est possible d'afficher des documents joints, par exemple :
http://www.les-mathematiques.net/phorum
http://www.ilemaths.net/forum_superieur.php
etc.
D'autant plus que cette discussion pourait intéresser d'autres personnes ayant des problèmes du même genre. Et peut-être susciter d'autres réponses plus appropriées que la mienne.

[JeanJ]

Je me demande si on ne se complique pas la vie en raisonnant de façon trop théorique et en en restant à des méthodes "de Matématiciens". Et s'il ne serait pas plus approprié, pour ce problème, de penser un peu plus "en Physicien". C'est à dire, d'en rester à de bonnes vieilles méthodes de calcul numérique. Par exemple:
Résoudre par calcul numérique (à l'ordinateur bien entendu) le système des deux équations en donnant des valeurs numériques aux paramètres initiaux. Représenter graphiquement les fonctions X(z) et Y(z). Ceci en répétant les résolutions et les cas différents, de façon à balayer systématiquement le domaine physiquement intéressant.
Choisir des fonctions convenant au mieux (D'accord, peut-être du genre A*x^a, mais éventuellement d'autres s'il apparaissait un intérêt évident).
Considérer une fonction globale constituée de la somme de quelques unes de ces fonctions simples.
Finalement, optimiser les paramètres par régression et méthode des moindres carrés (par exemple) de façon à ce que la fonction satisfasse au mieux le critère de proximité par rapport aux résultats numériques précédents.
Etudier les écarts entre ce que donne la fonction optimisée et les valeurs numériques des points calculés, ce qui permet une évaluation des déviations.

[jessifer]

"bonnes vieilles méthodes de calcul numérique":
oui, tout a fait.
C'est en quelque sorte ce qui est fait d'habitude.
Et ce qui devait etre fait dans une prochaine etape (car il faut appliquer cette equation uniquement sur une fraction du systeme,
et c'est ce qui a ete fait pour avoir les coefficients de l'equation et pour avoir les coeffs qui ont donner les coeffs ......
J'esperais une solution analytique pour rendre la solution plus propre.

Car la solution actuelle, c'est prendre X constant, donc on peut faire mieux.


Bon je reflechis quant a la pertinence d'une solution polynomiale,
mais je ne crois pas que ce soit tres utile pour mon probleme.

Merci beaucoup pour les infos !