Un célèbre théorème à démontrer

par **Timothé Lefebvre** » 14 Fév 2009, 11:07

Bonjour à toutes et à tous !

La plupart des lycéens sont en vacances, et de ce fait, je leur propose un petit exercice sympathique à faire en ces temps de repos histoire de ne pas perdre la main.

Certains le reconnaîtront sans doute, je leur demande donc de ne pas donner la solution, ni de trop gros indices ! En effet il s'agit d'un exercice célèbre proposé généralement en classe de seconde mais qui demande une bonne dose d'imagination plutôt qu'un haut niveau de connaissances mathématiques.

Exercice : il s'agit de démontrer le théorème de Pythagore qui dit que si le triangle ABC est rectangle en A alors

Indices :

Pour démontrer ce célèbre théorème vous ne devez utiliser que les triangles isométriques et autres propriétés du collège mais rien d'un niveau supérieur à la classe de seconde.
Il est conseillé de commencer par faire un schéma, et de traduire géométriquement le théorème de Pythagore sur celui-ci ...

Sur ce, je vous souhaite bon courage et bonne chance, ainsi que de bonnes vacances !

Timothé.

par **jeminicriquet** » 14 Fév 2009, 11:48

Faut utiliser le tableau des éléments homologues nan ?

par **Timothé Lefebvre** » 14 Fév 2009, 11:49

Non non :we:
La démonstration est axée sur la géométrie !

par **Zweig** » 14 Fév 2009, 13:40

Salut,

http://img87.imageshack.us/my.php?image=pythagorecf4.png

EDIT : Désolé, je n'avais pas vu qu'on ne pouvait pas donner la solution

Indice : Calculer de deux manières différentes l'aire du trapèze rectangle.

par **Timothé Lefebvre** » 14 Fév 2009, 14:07

Ouaip, ta figure est correcte pour la démo à faire, reste à réfléchir correctement dessus :lol4:

par **guigui51250** » 14 Fév 2009, 14:18

et même les lycéens pas en vacances peuvent le faire?? ^^

par **Timothé Lefebvre** » 14 Fév 2009, 14:21

Mais oui bien sûr !
Par contre quand tu trouveras laisse un peu les autres chercher ;)

par **guigui51250** » 14 Fév 2009, 14:22

Timothé Lefebvre a écrit:Mais oui bien sûr !
Par contre quand tu trouveras laisse un peu les autres chercher

ouff ça me rassure parce que je ne suis pas en vacances lol encore une semaine...
je vais y réfléchir

par **Nightmare** » 14 Fév 2009, 14:24

Sans avoir vu la démonstration au moins une fois, c'est quasiment impossible pour un collégien/lycéen de la retrouver...

par **Timothé Lefebvre** » 14 Fév 2009, 14:25

Même avec une bonne dose d'imagination, un bon schéma et quelques indices ?

par **Nightmare** » 14 Fév 2009, 14:26

avec le schéma sous les yeux peut être (et encore) mais le schéma ne se trouve pas tout seul par un lycéen (normal).

par **Timothé Lefebvre** » 14 Fév 2009, 14:27

Un exemple en a été donné par Zweig : il suffit de tracer le carrés d'après les trois côtés du triangle rectangle et de se dire que d'après Pythagore l'aire du grand carré sera égal à la somme des aires des deux autres ...

Voilà un énorme indice !

par **Sve@r** » 20 Fév 2009, 17:37

Nightmare a écrit:mais le schéma ne se trouve pas tout seul par un lycéen (normal).

Moi je connais une méthode avec ce dessin composé d'un petit carré de coté c placé en biais dans un grand carré de coté (a+b). Je vous laisse chercher mais avec un petit indice: il faut calculer la surface du grand carré...

Et ce dessin est tout à fait à la portée d'un lycéen...

par **Lemniscate** » 22 Fév 2009, 01:07

Bonjour,

Personnellement j'ai assez vite pensé à construire les carrés correspondant au théorème mais je n'ai aucun mérite, je suis un cours d'Histoire des Maths !

Tout ca pour dire que cette méthode "géométrique" était, je crois, la seule employée par les anciens Grecs pour résoudre les problèmes géométriques bien sûr mais aussi "algébriques" (terme qui n'apparaît qu'au IXe siècle ap. J-C. avec Al Khawarizmi ). Donc en fait ce qui est proposé c'est de démontrer ce théorème à la manière des Anciens.
(qui ne connaissaient pas le produit scalaire les pauvres !)

Sur ce, cherchez bien !

par **meryeem** » 22 Fév 2009, 10:55

Salut
c'est trop facile de la démontrer avec Al-kachi voulez-vous que je la démontre ainsi ??

par **Lemniscate** » 22 Fév 2009, 14:40

meryeem a écrit:Salut
c'est trop facile de la démontrer avec Al-kachi voulez-vous que je la démontre ainsi ??

Sachant que le théorème d'Al-Kashi est aussi appelé "théorème de Pythagore généralisé"

Je n'en suis pas sûr mais je crois que sans le théorème de Pythagore, personne n'aurait pensé à le généraliser à un triangle quelconque !

De plus le théorème d'Al Kashi se démontre notamment avec le théorème de Pythagore...
(cf wikipedia).

Enfin le théorème d'Al Kashi se démontre, à la manière ancienne, avec un "découpage d'aire" (cf le même article de wikipedia), comme ce qui a été proposé précédemment !

Mais c'est bien que quelqu'un y ait pensé à ce théorème !

par **meryeem** » 23 Fév 2009, 02:47

salut
bon on doit au début considéré un triangle rectangle ABC et on considere un autre rectangle ABD ( AD =AB ) D est un point de ( BC) . J est la projection de D sur (AB) et I est la projection de A sur (BD)
1 - on doit démontrer que BJ sur AB= AB sur BC
2 - on doit démontrer que I est le symétrique de J par rapport à (BH)
3 - après on démontre que AB^2 =BI fois BC
4 - on démontre que AC^2= CI fois BC
5 - et enfin on constate que BC^2 =AB^2+AC^2
cordialement

par **Sve@r** » 23 Fév 2009, 20:10

meryeem a écrit:salut
bon on doit au début considéré un triangle rectangle ABC et on considere un autre rectangle ABD ( AD =AB ) D est un point de ( BC) . J est la projection de D sur (AB) et I est la projection de A sur (BD)

Projection orthogonale ???

meryeem a écrit:1 - on doit démontrer que BJ sur AB= AB sur BC
2 - on doit démontrer que I est le symétrique de J par rapport à (BH)

H ???

par **meryeem** » 24 Fév 2009, 14:58

salut
oui je parle de projection orthogonale
et j'ai oublié le H est le point ou se rencontre (AI) et (DJ)
cordialement

par **Sve@r** » 24 Fév 2009, 20:44

meryeem a écrit:salut
bon on doit au début considéré un triangle rectangle ABC et on considere un autre rectangle ABD ( AD =AB ) D est un point de ( BC) . J est la projection de D sur (AB) et I est la projection de A sur (BD)
1 - on doit démontrer que BJ sur AB= AB sur BC

Ben là je n'y arrive pas. Thalès me dit que BJ/BA=BD/BC=DJ/AC mais je ne vois pas le lien avec AB/AC ??? Et même en sachant que AB=AD

meryeem a écrit:2 - on doit démontrer que I est le symétrique de J par rapport à (BH)
3 - après on démontre que AB^2 =BI fois BC
4 - on démontre que AC^2= CI fois BC
5 - et enfin on constate que BC^2 =AB^2+AC^2
cordialement

Ca a l'air compliqué - Je préfère ma méthode
- je calcule la surface du grand carré en utilisant la longueur de son coté
- je calcule la surface du grand carré en utilisant les 4 triangles et la surface du petit carré
=> comme les 2 surfaces sont égales, les valeurs identiques s'éliminent et il ne reste que a²+b²=c² !!!

Un célèbre théorème à démontrer

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