Bonjour à tous !
J'ai un problème avec un exercice. Je ne saisis pas vraiment ce que l'on me demande et je patauge sur le sujet... La récurence c'est pas trop trop mon truc et n'ayant rien compris à mon cours...
Comme vous le savez déjà, au temps de Pythagore, les grecs saidaient de cailloux pour effectuer leurs calculs.
La tentation était grande alors de disposer les cailloux selon des figures géométriques. Les nombres alors mis
en évidence étaient appelés des » nombres figurés » (dans les exemples ci-dessous, n t et n c sont des nombres
figurés). Ainsi les grecs pouvaient-ils découvrir dautres propriétés des nombres entiers.
A. Nombres triangulaires :
Sur un quadrillage, en partant dun point, on
construit des triangles Tn tels que chaque
triangle est obtenu à partir du précédent en lui
ajoutant les points de la diagonale suivante
comme lindique la figure ci-contre.
On note tn le nombre de points composant le triangle Tn.
1° Quelles sont les valeurs de t1, t2, t3, t4 et t5
2° Comment passe-t-on de Tn à Tn+1 ? En déduire la valeur de tn+1 en fonction de tn.
3° Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence et la formule obtenue dans la question 2, que, pour tout
entier naturel n ³ 1, tn = 1 + 2 + 3 +
+ n
4° On juxtapose deux triangles Tn comme lindique la figure ci-contre.
En déduire que 1 + 2 +
+ n =
n (n + 1)
2
5° Utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer que la formule établie
géométriquement dans la question 4 est vraie pour tout entier naturel n.
B. Nombres carrés :
De la même façon, en partant dun point,
on construit des carrés Cn tel que chaque carré
est obtenu en ajoutant les points situés au-dessus
et à droite du carré précédent de la manière suivante :
On note cn le nombre de points composant le carré Cn.
1° Combien de points ajoute-t-on pour passer de Cn à Cn+1 ?
2° Exprimer cn+1 en fonction de cn.
3° Démontrer par récurrence que : 1 + 3 + 5 + 7 +
+ (2 n 1) = n2 .
Si quelqu'un pouvait me donner quelques explications je lui en serait reconnaissant. Merci.