Mathématiques - Trois losanges pour un hexagone

Trois losanges pour un hexagone
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Posted by: Imod

Un problème apparemment simple

On découpe un hexagone régulier en trois losanges identiques .

http://img329.imageshack.us/img329/...exagone4af9.jpg

On pave un hexagone régulier avec ces losanges , le nombre de losange de chaque couleur est-il nécessairement le même ?

http://img329.imageshack.us/img329/1521/hexagonehp0.jpg

Bon courage !

Imod

Posted by: Patastronch

Naivement je dirais que c'est une empilation de cube ton pavage... mais j'arrive pas à me garantir que l'ensemble des pavages possible est en bijection avec une empilation de cube.

Posted by: Patastronch

Bon il faudrait pouvoir dénombrer le nombre de pavages possible (ce qui ne semble pas etre tache facile), ainsi que le nombre d'empilement de cube "tassé dans le coin" possible (ce qui semble plus facile à faire :) ), si ces deux cardinaux sont egaux alors on a une bijection puisque tout empilement de cube distinct correspond a un pavage disctinct.

Je continue de chercher :)

Posted by: scelerat

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Posté par Patastronch

Naivement je dirais que c'est une empilation de cube ton pavage... mais j'arrive pas à me garantir que l'ensemble des pavages possible est en bijection avec une empilation de cube.

Partons de l'empilation de cubes, et regardons les trajets qui vont du bord gauche au bord droit en "restant au meme niveau". Un tel trajet :
1. ne comporte pas de losange turquoise (on va toujours d'une arete verticale a une arete verticale)
2. comporte autant de losanges jaunes que de mauves, puisque les mauves font descendre et les jaunes monter d'une demi-arete.
3. comporte 2n (n=A/a, rapport des aretes) losanges pour faire la distance, donc n de chaque couleur.
On a n niveaux, donc n^2 losanges mauves et n^2 jaunes, et par consequent n^2 turquoise.

Posted by: nodgim

Je vois la perspective d'une boîte cubique ouverte. Si je la regarde d'en haut, je ne vois que du turquoise, de la droite, que du jaune, de la gauche, que du mauve. La conclusion est alors immédiate

Posted by: Patastronch

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Posté par nodgim

Je vois la perspective d'une boîte cubique ouverte. Si je la regarde d'en haut, je ne vois que du turquoise, de la droite, que du jaune, de la gauche, que du mauve. La conclusion est alors immédiate

Tu fais la suposition que tout pavage correspond a un empilement de cube. Malheuresement c'est la ou est la difficulté de la question. Soit tu en trouve un qui ne le soit pas et du coup ca sera assez immédiat que la réponse est non, soit tu montre que tout pavage est un empilement de cube quoiqu'il arrive et la réponse sera alors évidemment oui. Mais tu peux pas conjecturer comme ca qu'on a une empilation de cube quoiqu'il advienne.

Posted by: scelerat

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Posté par Patastronch

Qu'est-ce qu'une empilation de cubes ? Le fait qu'on peut forcement aller d'une arete a l'arete opposee sans revenir en arriere en ne traversant que des losanges dont le cote depart et le cote arrivee sont paralleles (et paralleles a l'arete de depart) ?

Posted by: scelerat

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Posté par scelerat

Partons de l'empilation de cubes, et regardons les trajets qui vont du bord gauche au bord droit en "restant au meme niveau".

Comme Patastronch pourrait douter de la nature de ces trajets, je precise qu'il y a n points de depart (cotes de losanges sur l'arete verticale gauche), n points d'arrivee, et qu'il est evident que deux trajets ne peuvent se croiser. Donc un trajet de cote vertical a cote vertical arrive forcement au niveau d'ou il est parti.

Posted by: ffpower

Je pense avoir a peu pres trouver,mais je donnerai qu une ebauche de solution,car d une je suis pas encore sur que ce soit totalement clair dans ma tete et de deux,meme si ca l etait,je vois mal comment tout expliqué sans dessin.Alors je regarde les hexagones "elementaires" du cube qui sont union de 3 losanges elementaires.y en a 2 types:
-les hexagones de "type 1" comme dessinés sur la premier figure d imod:bleu en haut,rouge en bas a gauche,jaune en bas a droite
-et les autres,de "type 2":bleu en bas,rouge en haut a droite et jaune en haut a gauche

J applique l algo suivant:je cherche un hexagone de type 2 et je le change en un hexagone de type 1.Cet algo ne change pas la propriété voulue(autant de losanges de chaque couleur
Quand l algo se finira(c surtout ca que j ai pas encore justifié,pk l algo se finit?en tout cas ca semble clair lol) il n y aura donc plus d hexa de type 2,on sera alors dans la situation facile ou on a "le dessin d un cube en perspective"...

Posted by: Patastronch

Je pense qu'on arrive à s'en sortir en déformant l'hexagone de manière à ce que l'un des 3 types de losange ne fasse plus la même surface que les 2 autres(et ne soit pas une combinaison linéaire des deux autres à coefficient rationnel), et en concluant ensuite en faisant des considérations d'aires. Bon je vois que je suis flou, alors tournons sur un exemple (réduit).
Supposons que les cotés de l'hexagone de départ fassent 2 et que les cotés des losanges fassent 1.

Déformons l'hexagone (et son pavage) en rendant droit ( $\pi/2$ ) les angles nord et sud (et les 4 autres angles à $3 \pi/4$ ). Ainsi les losanges bleu sont maintenant des carrés de longueurs 1 et les autres losanges ont leur coté de longueur 1 mais leur petit angle vaut $\pi/4$ et non $\pi/3$ comme au départ. Dans ce cas là, la surface d'un carré vaut 1 et la surface d'un losange vaut sin( $\pi/4$ )= $\sqrt(2)/2$ .
Si on nomme $a$ le nombre de losange deformé en carré et $b$ le nombre des autres losanges, on a donc :
$a+b=12$ s'en déduit facilement en faisant des considérations d'aire sur l'héxagone de départ.
$a + b\times \sqrt{2}/2 =$ Aire de l'hexagone déformé. (considération d'aire sur l'hexagone déformé)
Or cette surface est égale à $4+2\sqrt{2}$ .
On en déduit imédiatement que a=4 et b=8.
On répète cette opération cette fois en déformant 2 autres angles de l'hexagone et en déduit immédiatement que le nombre de losange de chaque type est 4.

Cette méthode peut se généraliser pour n'importe quelle taille de l'hexagone.

J'espere que j'ai reussi à etre clair :s

Posted by: Imod

Je réponds un peu tardivement (désolé , d'autres devoirs m'appelaient ) .

En effet , le problème est de savoir si le pavage correspond à un empilement ( c'est plus joli qu'empilation ) de cubes . Comme Patastronch je ne suis pas du tout convaincu par les arguments de scélérat qui présuppose que le pavage est un empilement de cubes : je veux bien mais il faut le prouver ! L'argument de ffpower semble bien plus convainquant . Une remarque le passage d'un type 1 à un type 2 fait monter un losange bleu donc le processus est nécessairement fini . J'attends quand même l'explication du fait que la situation finale correspond à la vue traditionnelle d'un cube en perspective : ce n'est pas évident !

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

Je réponds un peu tardivement (désolé , d'autres devoirs m'appelaient ) .

En effet , le problème est de savoir si le pavage correspond à un empilement ( c'est plus joli qu'empilation ) de cubes . Comme Patastronch je ne suis pas du tout convaincu par les arguments de scélérat qui présuppose que le pavage est un empilement de cubes : je veux bien mais il faut le prouver !

Ca me rassure, j'ai cru que c'était moi qui voyait une difficulté la ou y'en avait pas !

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Posté par Imod

L'argument de ffpower semble bien plus convainquant . Une remarque le passage d'un type 1 à un type 2 fait descendre un losange bleu donc le processus est nécessairement fini . J'attends quand même l'explication du fait que la situation finale correspond à la vue traditionnelle d'un cube en perspective : ce n'est pas évident !

Imod

Je rajouterai aussi qu'il faut prouver qu'il ne peut y avoir de pavage sans hexagone de type 1 ou 2 (meme si ca parait evident) sinon l'algo tombe à l'eau.

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

En effet , le problème est de savoir si le pavage correspond à un empilement ( c'est plus joli qu'empilation ) de cubes .

En effet apres vérification dans le dico, empilation n'existe pas

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Je rajouterai aussi qu'il faut prouver qu'il ne peut y avoir de pavage sans hexagone de type 1 ou 2(meme si ca parait evident) sinon l'algo tombe à l'eau.

En fait il suffit de montrer qu'après l'algo ( même s'il a fonctionné 0 fois ) la situation est celle du dessin d'un cube en perspective .

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

En fait il suffit de montrer qu'après l'algo ( même s'il a fonctionné 0 fois ) la situation est celle du dessin d'un cube en perspective .

Imod

Je suis pas d'accord, le cas ou il existerai un pavage sans hexagone de type 1 ou 2 n'est pas traité par l'algorithme (meme s'il tourne 0 fois).

Edit: je retire, si l'algo tourne 0 fois alors il faut prouver qu'on a forcément un cube géant au départ, tu as raison ca reviens au meme.

Posted by: Imod

Patastronch ,

je n'avais pas vu ton message avec les déformations . On retombe sur le même problème que pour les cubes : qui nous garantit que la déformation est possible ( j'avais pensé à la même chose et je n'ai pas trouvé de justification ) ?

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

Patastronch ,

je n'avais pas vu ton message avec les déformations . On retombe sur le même problème que pour les cubes : qui nous garantit que la déformation est possible ( j'avais pensé à la même chose et je n'ai pas trouvé de justification ) ?

Imod

Je vois pas en quoi la déformation serait impossible puisque je ne déforme que les angles. Vulgairement j'écrase l'héxagone et son pavage quelque soit le pavage (qu'il corresponde ou pas a un empilement de cube). D'ailleurs je ne me sert jamais du fait qu'on a forcément un empilement de cube.

Y a peut etre quelque chose qui m'echappe mais je vois pas la ou ca coince, si tu pouvais préciser :s

Posted by: Imod

Je te relis en détail . Le type de transformation que j'avais envisagé :

http://img357.imageshack.us/img357/...uxcubes2jt7.jpg

Imod

Posted by: Patastronch

Oui c'est exactement cette déformation a laquelle je pensais mais la tu prends ton exemple sur un empilement de cube, mais dans la déformation en quoi ca coincerai si c'était pas un empilement de cube ? D'ailleurs ma démo ne prouve pas qu'un pavage est forcément un empilement de cube.

Sincerement je vois pas ce qui va pas.

Sinon faut que j'apprenne a me servir de ton logiciel, elles sont superbes tes figures a chaque fois, c'est quoi ?

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Sinon faut que j'apprenne a me servir de ton logiciel, elles sont superbes tes figures a chaque fois, c'est quoi ?

Le logiciel Déclic je l'ai découvert sur le site "Les jeux mathématiques de Diophante" où il est offert gracieusement . En plus on l'a en main en quelques minutes

Imod

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Oui c'est exactement cette déformation a laquelle je pensais mais la tu prends ton exemple sur un empilement de cube, mais dans la déformation en quoi ca coincerai si c'était pas un empilement de cube ? Sincerement je vois pas ce qui va pas.

Pourquoi la déformation est-elle possible ? Pourquoi chaque losange du même type est-il déformé de la même façon ?

Imod

Posted by: Patastronch

Ben chaque angle de chaque losange est formé par 2 cotés parallèles à 2 cotés de l'hexagone. Je déforme les angles de l'hexagone donc les angles de chaque losange sont déformés de la meme maniere.

Non ?

Parceque si c'est non je viens de perdre une apres-midi + soirée pour rien

Joli probleme dans tous les cas !

Posted by: ffpower

Bon ok je vais essayer^^:alors supposons qu il n y ait pas d hexagone de type 2..

Je vais commencer par prouver que les losanges au bord de chaque arrete du grand hexagone sont tous de la meme couleur..Prenons par exemple l arrete en haut a droite(je vous conseille de suivre sur le dessin d imod^^).les losanges collés a cette arrete sont soit bleus soit rouge.

Supposons qu il y ait au moins un bleu et un rouge...On peut alors trouver un point sur la grande arrete appartenant a la fois a un losange bleu et un losange rouge et a gauche du rouge il va forcement y avoir un jaune.En suivant l arrete commune au jaune et au rouge vers le bas,on va finir par tomber sur un losange bleu et donc trouver un hexa de type 2,contradiction.Donc sur la grande arrete en haut a gauche ne sont colles que des losanges rouges,ou que des losanges bleus

On raisonne de meme sur les autres grandes arretes.Elles ont toutes une couleur uniforme.En regardant commment ca doit "coller" sur les coins,on en deduit meme que le contour du grand hexagone est soit un contour d un grand hexagone de type 1,soit d un grand hexagone de type 2

Maintenant on vire les losanges collés aux grandes arretes,et on obtient un hexagone un peu plus petit.Ainsi,on peut faire une reccurence.On est parti d un grand hexagone A,et en "virant les bords",on obtient un nouveau grand hexagone B

Supposons avoir prouver que B est un grand hexagone de type 1,alors le contour de A ne peut etre un contour d hexagone de type 2,car sinon on pourrait trouver un petit hexagone de type 2 tout en haut(ainsi qu en bas a gauche et en bas a droite d ailleurs).Donc le contour de A est de type 1,et finalement A est un grand hexagone de type 1...

Voila je crois que ca marche...J espere avoir reussi a etre a peu pres clair(c est pas facile de l etre^^),et qu il n y a pas d erreur(car faut se mefier de ce genre d exos "intuitifs")

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Ben chaque angle de chaque losange est formé par 2 cotés parallèles à 2 cotés de l'hexagone. Je déforme les angles de l'hexagone donc les angles de chaque losange sont déformés de la meme maniere.

Non ?

A vrai dire je n'en sais rien , est-ce vraiment évident ? Sinon ça pourrait faire le sujet d'une nouvelle énigme

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par ffpower

...

Ok, moi je suis d'accord avec toi mais tu prouves seulement que si l'algo tourne 0 fois alors le motif de départ était deja un cube géant non ?

Reste à montrer que c'est vrai lorsque l'algo tourne n>0 fois !

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

A vrai dire je n'en sais rien , est-ce vraiment évident ? Sinon ça pourrait faire le sujet d'une nouvelle énigme

Imod

Ok je détaille l'idée de la déformation alors :

Pour les losanges bleu :
Son angle en bas a gauche est le meme que l'angle en bas a gauche de l'hexagone soit 90° apres la déformation.
Son angle en bas a droite est le meme que l'angle formé par l'arrete bas-gauche de l'hexagone et l'arrete de droite de l'hexagone soit 90° apres la déformation.
Symétriquement pour les 2 autres angles.

Pour les losanges rouge :
Son angle en bas est le meme que l'angle en bas de l'hexagone soit 135° apres la déformation.
Son angle a droite est le meme que l'angle formé par l'arrete bas-droite de l'hexagone et l'arrete haut-droite de l'hexagone soit 45° apres la déformation.
Symétriquement pour les 2 autres angles.

Symétriquement pour les losanges jaune.

Posted by: ffpower

Pour votre methode,je pense qu il faudrait expliciter la transformation:genre se placer dans un repere orthonormé (O,I,J) ou O est le sommet en bas a gauche et J en haut et droite,et faire un transfo du type (x,y)->(x,a*x*y),avec a bien choisi(ou une autre de ce genre,j ai pas trop reflechi)

Posted by: Imod

Patastronch ,

je vois bien ce que tu veux dire mais ce ne sont que des affirmations non justifiées et faussement simples : considère un autre pavage pour t'en convaincre ! La rigidité ou la souplesse d'un maillage ne relève pas de l'évidence .

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

Patastronch ,

je vois bien ce que tu veux dire mais ce ne sont que des affirmations non justifiées et faussement simples : considère un autre pavage pour t'en convaincre ! La rigidité ou la souplesse d'un maillage ne relève pas de l'évidence .

Imod

Ok je crois comprendre ce qui te gene, tu penses qu'il est possible qu'apres une déformation, les pieces du pavages peuvent se chevaucher ? J'en doute fortement (ok mon intuition n'est pas une preuve

) mais a la limite c'est pas grave, ce qui compte c'est que l'egalité entre la surface de l'hexagone déformé et la sommes des surfaces des losanges déformé soit conservée. Inutile que l'on ait vriament un pavage apres la déformation en fait.

Posted by: Imod

ffpower,

ton raisonnement semble juste , tu ne peux pas faire plus concis ?

Imod

Posted by: ffpower

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Posté par Patastronch

Ben ce que je fait,c que je fait tourner mon algo jusqu a ce qu il s arrete(ce qui arrive forcement par l argument d imod sur la "descente des losanges bleus"^^).Quand on ne peut plus continuer l algo,c qu on est dans une situation ou ya plus d hexagones de type2,donc par ce que j ai montré,notre hexagone est devenu le "projeté d un cube",et a donc autant de losanges de chaque type.comme l algo,ne change pas le nb de losanges de chaque type,ben c que l hexagone initial avait autant de losanges de chaque type..

Imod:je suis pas sur de pouvoir faire plus concis lol,si ce n est qu on pourrait prouver directement par la reccurence que si ya pas d hexa de type 2,alors ya autant de losanges de chaque.ca simplifierait un peu lla preuve,mais on verrait moins bien ce qu il se passe..

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Non , ma gène est ailleurs : peut-on vraiment et à coup sûr déformer le maillage ?

Imod

Posted by: ffpower

En fait,dans le repere que j ai cité plus haut,une transfo du type (x,y)->(x,a*y) avec a bian choisi semble faire la transfo souhaitee(a savoir un elargissement vertical)

Posted by: Imod

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Posté par ffpower

je ne suis pas sûr de pouvoir faire plus concis lol...

Je pense que si mais il est un peu tard

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

Non , ma gène est ailleurs : peut-on vraiment et à coup sûr déformer le maillage ?

Imod

Bon on part d'un pavage. On retire les losanges de ce pavage comme des pieces d'un puzzle. On déforme les 3 types de losanges avec la déformation de maniere indépendante (en ajustant leurs angles). On déforme également l'hexagone géant (en déformant ses angles).

Jusque là aucun probleme. Alors (désolé j'essai de saisir le point problématique, je le vois pas), tu penses que :

-> Si j'essai de mettre les pieces dans l'hexagone déformé de la meme maniere que dans le pavage initiale, les pieces peuvent se chevaucher ? (j'ai cru comprendre que c'était pas ca le probleme)
-> Apres les déformations indépendantes, l'egalité de surface n'est pas toujours conservée selon le pavage initial ? (ce qui serait le seul cas problématique selon moi)
-> Autre ?

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Si , problème !!!!

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

Si , problème !!!!

Imod

Pourquoi ? J'ai déformé tout de maniere indépendante comme si l'hexagone etait une piece géante, ainsi que chaque losange séparément. Vraiment je vois pas, il est peut etre tard mais je capte pas le probleme.

Posted by: Imod

Il est en effet très tard

déformer chaque type de pièce et l'hexagone n'assure plus l'existence du puzzle !!! C'est un vrai problème

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par Imod

Il est en effet très tard

déformer chaque type de pièce et l'hexagone n'assure plus l'existence du puzzle !!! C'est un vrai problème

Imod

Je vois vraiment pas pourquoi ca assure pas l'existance du puzzle, mais bon c'est pas grave, le problème ca serait si on avait plus l'égalité des surfaces. Dans la démo, on se sert que du fait que la sommes des surfaces des losanges déformés est égale a la surface de lhexagone déformé, et non du fait qu'une fois le tout déformé il y a un puzzle.

Bon il se fait tard, et on tourne en rond la, apres une bonne nuit de sommeil je verrais peut-etre mieu le point problématique :)

Posted by: Imod

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Posté par Patastronch

Bon il se fait tard, et on tourne en rond la, apres une bonne nuit de sommeil je verrais peut-etre mieu le point problématique :)

Bonne nuit

Imod

Posted by: Patastronch

Bon je vois toujours pas le problème mais suite à quelques recherches rapides, il se pourrait que la déformation qu'on fait soit une transformation homographique du plan qui est une transformation bijective. J'ai pas regardé en détail encore, je verrai ça ce soir quand j'aurais plus de temps. Si c'est bien le cas, reste à déterminer la transformation pour s'en assurer.

Posted by: Imod

J'ai bien peur que l'homographie soit complètement définie par l'image du grand hexagone or les pavages sont multiples .

Imod

Posted by: Imod

Une fois établi que chaque pavage correspond à un empilement de cube , le nombre de pavages différents d'un hexagone de côté n ( 1 étant le côté du losange ) est le nombre de matrices $(a_{ij})$ , $i$ et $j$ variant de 1 à n et $a_{ij}$ de 0 à n , les valeurs $a_{ij}$ étant croissantes sur chaque ligne et sur chaque colonne .

Je ne sais pas si on peut exprimer ce nombre facilement en fonction de n ?

Imod

Posted by: scelerat

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Posté par Imod

Comme Patastronch je ne suis pas du tout convaincu par les arguments de scélérat qui présuppose que le pavage est un empilement de cubes

Desole de revenir si tard, mais je ne suppose pas que c'est un empilement, je le disais pour expliquer.
Changeons donc d'explication : Tarzan ne sait se deplacer que d'un cote de losange au cote parallele. Il part sur un pavage d'un bord du grand hexagone. J'ai donne les arguments qui montrent qu'il arrive au bord oppose en ayant franchi 2n losanges de seulement deux couleurs, et qu'il y arrive a la meme position sur ce bord que celle dont il etait parti. A partir de la, meme Cheetah peut montrer que l'on a n^2 losanges de chaque couleur.

Posted by: Imod

En effet ça marche , je n'avais pas compris ton cheminement ( sûrement à cause de la jungle

) .

Imod

Posted by: Patastronch

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Posté par scelerat

Pour ma part il manque la preuve d'existence d'un tel trajet pour chaque point de départ quelque soit le pavage. Bon la démo est assez simple en y réflechissant un peu je te l'accorde.

Posted by: Imod

Le sujet original : Les mathématiques.net

J'ai soumis la solution de scelerat ( j'espère qu'il ne m'en voudra pas ) plus courte que celle de GG ou de ffpower ( en fait assez proche ) . Patastronch reconnaitra sous ma plume l'approche avec déformation de l'hexagone : j'y ai longtemps cru moi-aussi !

Imod

Posted by: Patastronch

En effet c'est exactement la meme méthode que t'avais proposé

Et moi qu'était content d'avoir trouvé une facon de faire originale ...