Trigonométrie :)

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Posted by: Capss

Bonjour à tous

Voilà j'ai un exo de trigo sur un bouquin mais je ne comprend pas comment arriver à la fin.

Dans un premier temps, l'exo demande de calculer cos(5pi/12) grâce à la formule liant cos(2x) et cos(x) et je trouve V(2-V3)/2 (le 2 n'est pas inclu dans la racine V).

Ensuite il faut Résoudre dans R l'équation
-cosx + (2+V3)sinx = 1

N'ayant jamais résolu ces types d'équations je suis perdu
Quelqu'un pourrai t-il m'aider à résoudre ce problème svp? Et en préciasant ensuite la méthod générale qu'il faut procéder chaque fois que je rencontrerai ce type d'exo

Je vous remercie d'avance


Posted by: Nicolas_75

Bonjour,

Une méthode est tout simplement d'utiliser les formules de trigonométrie.

-\cos x + (2+\sqrt{3})\sin x = 1
\Leftrightarrow \sin x +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \sin x-\sin\frac{-2\pi}{3}\sin x+\cos\frac{-2\pi}{3}\cos x=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \sin x + cos(x-\frac{2\pi}{3})=\frac{1}{2}
(or \sin p+\sin q=2\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{p-q}{2})\cos(\frac{p+q}{2}-\frac{\pi}{4})
\Leftrightarrow 2\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})\cos(x-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow 2\sin\frac{5\pi}{12}\cos(x-\frac{7\pi}{12})=\frac{1}{2}
(miracle : on dois utiliser le résultat de la 1ère question, qui permet de savoir que \sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}))
\Leftrightarrow \cos(x-\frac{7\pi}{12})=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}
\Leftrightarrow \cos(x-\frac{7\pi}{12})= \frac{\sqrt{2-sqrt{3}}}{2}
\Leftrightarrow \cos(x-\frac{7\pi}{12})=\cos\frac{5\pi}{12}

Je te laisse conclure ;-)

Nicolas


Posted by: Capss

Merci beaucoup Nicolas :)

Je trouve que la démarche, notamment savoir quels termes changer, quelles formules de trigo à appliquer est dure

Pourrai tu m'expliquer pour sinp + sinq d'où vient le pi/4 et qu'est ce qui joue le rôle de p et q stp?

merci d'avance


Posted by: Nicolas_75

J'ai fait une faute de frappe. Il fallait lire :
\sin p+\cos q = 2\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{p-q}{2})\cos(\frac{p+q}{2}-\frac{\pi}{4})=2\cos(\frac{p-q}{2}-\frac{\pi}{4})\cos(\frac{p+q}{2}-\frac{\pi}{4})

C'est une conséquence de :
\sin p+\sin q = 2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}
en remplaçant q par \frac{\pi}{2}-q


Posted by: Nicolas_75

Un chouia plus simple, en reconnaissant \frac{5\pi}{12} dès le début :

-\cos x+(2+sqrt{3})\sin x=1
\Leftrightarrow -\cos x+4\sin^2\frac{5\pi}{12}\sin x=1
\Leftrightarrow -\cos x+2(1-\cos\frac{5\pi}{6})\sin x =1
\Leftrightarrow \cos x+2\cos\frac{5\pi}{6}\sin x-2\sin x=-1
\Leftrightarrow \sin\frac{5\pi}{6}\cos x+\cos\frac{5\pi}{6}\sin x-\sin x=-\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \sin(x+\frac{5\pi}{6})-\sin x=-\frac{1}{2}
\Leftrightarrow 2\cos(x+\frac{5\pi}{12})\sin\frac{5\pi}{12}=-\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \cos(x+\frac{5\pi}{12})=\frac{-1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}=-\cos\frac{5\pi}{12}
\Leftrightarrow \cos(x-\frac{7\pi}{12})=\cos\frac{5\pi}{12}

Nicolas


Posted by: Capss

Mille merci Nicolas d'avoir répondu à ma question


Posted by: Nicolas_75

De rien !










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