Tribu trace

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Posted by: Sphinx

Bonjour!
J'ai un gros problème avec un exercice sur les tribus.
Soit A la tribu sur l'ensemble E engendrée par une classe B de parties de E.
Soit A' l'ensemble des intersections de F inclus dans E avec les éléments de A.
Montrer que A' est la tribu sur F engendrée par les intersections de F avec les éléments de B.
Merci de m'aider car je ne sais pas par où commencer.
Ciao!


Posted by: ParLaLaSortie

Bonjour,

On a donc une famille de parties {\cal B} d'un ensemble E, on considère la tribu engendrée par {\cal B}, que l'on note \sigma({\cal B}) et tu considères la famille A' définie par:
A' = \{ F \cap X, X \in \sigma({\cal B}) \}. Il faut donc montrer que A' = \sigma({\cal B} \cap F) .

La preuve se fait en deux temps:
1) Tu démontres que A' est une tribu,
2) tu prouves ensuite que A' \subset \sigma({\cal B} \cap F).

1- A' tribu. La stabilité par réunion dénombrable est immédiate: si (Y_i) est une famille dénombrable de parties de A', alors chaque Y_i = F \cap X_i avec X_i \in \sigma({\cal B}) et donc \bigcup Y_i = \bigcup (F \cap X_i) = F \cap (\bigcup X_i) et cela est dans A' puisque \sigma({\cal B}) est une tribu. Pour le complémentaire, c'est pareil.

2- Si Y \in A' alors Y = F \cap X avec X \in \sigma({\cal B}) donc Y \in \sigma( {\cal B} \cap F).

Avec 1 et 2, tu as le résultat: puisque d'après 1, A' est une tribu qui contient {\cal B} \cap F, elle contient la tribu engendrée par cette famille donc \sigma ({\cal B} \cap F ) \subset A' . Et l'autre inclusion vient de 2, CDFD.


Posted by: Sphinx

Citation:
Posté par ParLaLaSortie
2- Si Y \in A' alors Y = F \cap X avec X \in \sigma({\cal B}) donc Y \in \sigma( {\cal B} \cap F).


Bonjour!
Excuse-moi,mais je n'ai pas compris l'immédiateté de Y \in \sigma( {\cal B} \cap F).
Peux-tu m'expliquer davantage?
Merci d'avance.
Ciao!


Posted by: ParLaLaSortie

C'est parceque \sigma(F \cap \sigma({\cal B})) = \sigma(F \cap {\cal B}).

En effet on vient de voir en 1 que F \cap \sigma({\cal B}) est une tribu, donc \sigma(F \cap \sigma({\cal B})) = F \cap \sigma({\cal B}).

Donc \sigma(F \cap {\cal B})) \subset \sigma(F \cap \sigma({\cal B})).

Ensuite, il faut montrer que F \cap \sigma({\cal B}) \subset \sigma(F \cap {\cal B}). Je te laisse le faire tout seul, cela prend une ligne: reviens à la définition d'une tribu engendrée: c'est l'intersection de toutes les tribus qui contiennent la famille.


Posted by: ParLaLaSortie

Petite précision: tu noteras que mes notations prêtent à confusion: ce qu'il faut montrer, c'est que F \cap \sigma({\cal B}) = {\sigma}_F ({\cal B} \cap F), expression dans laquelle {\sigma}_F désigne la tribu engendrée sur le sous-espace F. J'ai pensé que c'était clair mais c'est peut-être cela qui t'as gêné. Si c'est le cas, désolé.










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