Tribu des boréliens de IR = parties de IR ?

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Posted by: Zapata

Salut les gars,
je me posais la question suivante : est-ce que la tribu des boréliens de IR est égale à l'ensemble des parties de IR ?
Je me dis que non car si c'était le cas je le saurai... Mais c'est pas très rigoureux, et je ne suis pas du tout certain ! Auriez-vous un contre-exemple ?


Posted by: tize

Effectivement, ça n'est pas la même chose...on peut construire grâce à l'axiome du choix une partie de R qui n'est pas mesurable, cela a déjà été fait dans le forum, fais une recherche tu trouveras facilement...


Posted by: ThSQ

L'ensemble des boréliens de IR à le même cardinal que IR (la puissance du continu, la classe !) il y a donc beaucoup plus de parties de IR que de parties boréliennes.


Edit : je viens de lire la réponse de tize. l'AC est nécessaire pour montrer l'existence de partie non mesurable, mais il me semble qu'un argument de cardinal suffit pour les parties boréliennes.


Posted by: tize

Citation:
Posté par ThSQ
...je viens de lire la réponse de tize. l'AC est nécessaire pour montrer l'existence de partie non mesurable...

Oui c'est ce que je dis et effectivement la tribu borélienne de \mathbb{R}^n a la puissance du continu qui est bien "inférieure" à la puissance de P\(\mathbb{R}^n\)


Posted by: Zapata

Ah ok je savais pas du tout ! Dur dur d'imaginer une partie de IR qui ne soit pas un borélien !


Posted by: tize

Oui, c'est pas facile à imaginer, j'ai retrouvé ce lien


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par tize
la tribu borélienne de \mathbb{R}^n a la puissance du continu


Sans vouloir pinailler (bon, un peu quand même), la tribu borélienne de \mathbb{R}^n est de même cardinal que \mathbb{R}^n. Mais montrer que \mathbb{R}^n et \mathbb{R} sont équipotents nécessite à nouveau l'AC !


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Zapata
Ah ok je savais pas du tout ! Dur dur d'imaginer une partie de IR qui ne soit pas un borélien !


<chdéconepatapé>Facile, tu prends une partie de IR au hasard, il y a une probabilité de 1 qu'elle ne soit pas borélienne ! </chdéconepatapé>


Posted by: tize

Citation:
Posté par ThSQ
Sans vouloir pinailler (bon, un peu quand même)...nécessite à nouveau l'AC !

Oui tu as raison
Citation:
Posté par ThSQ
Facile, tu prends une partie de IR au hasard, il y a une probabilité de 1 qu'elle ne soit pas borélienne !

Ca n'aide pas à l'imaginer, le hasard infini... (à mon tour de pinailler ) mais ça donne une bonne idée de la proportion dans P(R)


Posted by: Zapata

C'est dingue ce que vous dites !
En fait c'est chaque fois pareil en math, c'est toujours les éléments les plus nombreux les plus difficiles à "montrer". J'ai toujours du mal à expliquer aux gens qu'il y a bcp plus de transcendants que d'algébriques, mais que pourtant ils sont beaucoup plus difficile à trouver !
Ben en fait, je ne sais même pas ce qu'est l'axiome du choix, faudra que je remédie à ça !


Posted by: Lierre Aeripz

Montrer que \mathbb{R}^n est équipotent à \mathbb{R} ne nécessite pas l'axiome du choix, pas même l'axiome du choix dénombrable. En effet \mathbb{R} a une structure connue, donc on peut faire des choix. Pour montrer l'équipotence de A^n et de A dans le cas général, il faut l'axiome du choix (je pense).
Plus généralement, la théorie des cardinaux nécessite l'axiome du choix (pour pouvoir dire que tout ensemble est équipotent à un ordinal et d'autres choses du genre).










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