transvection ?

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Posted by: MacManus

Bonjour à tous!

Une transformation affine g : R^2 \longrightarrow R^2 est définie par : \forall (x,y) \in R^2, g(x,y) = (x',y') où :
x' = 2x+y-2 et y' = -x+2

La partie linéaire de g est la matrice A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

A n'est pas orthogonale donc g n'est pas une isométrie.
le polynôme caractéristique de A est : (\lambda-1)^2
donc A n'est pas diagonalisable. Ma question est donc :
Comment écrire g dans une base qui trigonalise A ??

merci beaucoup.


Posted by: ThSQ

Tu peux l'écrire \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} dans une certaine base


( pas sûr de comprendre la question )


Posted by: MacManus

J'obtiens que Ker(\vec g-I_d) = Vect[(1,-1)] et rg(A-I_2) = 1

mais je ne répond pas à la question !


Posted by: MacManus

En fait j'ai oublié comment rendre une matrice non diagonalisable, en une matrice trigonalisable.

Bon... pour une matrice 2x2 le calcul n'est surement pas très difficile, mais j'ai tout de même une question :

Si ma matrice de départ est A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} n'est pas diagonalisable mais qu'elle possède 1 pour valeur propre double, je peux la trigonaliser sous la forme :

T = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Je sais que Ker(\vec g-I_2) = Vect[u_1] où u_1 = (1,1)

j'ai le système suivant :
A(u_1)= u_1
A(u_2)= au_1+u_2

Comment trouver le vecteur u_2 et a pour que (u_1,u_2) forme une base de T ??

Merci pour votre aide !!










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