Transformé inverse de laplace (résidus)
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niko61
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par niko61 » 29 Juil 2006, 16:45
bonjour
J'ai un petit soucis avec un exercice de mathématique applliquée, j'ai trouvé ce forum sympa et j'espère que vous aller pouvoir l'aider.
Voici l'énoncé du sujet:
un SLI dont l'entrée est u(t) et la sortie y(t) à pour fonction de transfert:
G(p) = 10 / p(1+p)
1) Determiner la réponse indicielle de ce systeme
2)determiner la réponse de ce systeme à l'entrée u(t) = sin(t)
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voici ce que j'ai fait:
1)
les poles sont 0 et -1
donc le premier mode est 10 (pour le pole en 0)
le 2eme mode est -10e-1t (pour le pole en 1)
ensuite j'aditionne les deux et ça donne la réponse indicielle
2)
je sais que G(p) = Y(p)/U(p) (sortie/entrée)
u(t) = sin(t) daprés les tables -> U(p) = 1 / p^2 + 1
donc Y(p) = G(p)*U(p) = 10 / p(1+p) * 1 / p^2 + 1
soit : 10 / p(1+p)(p^2+1)
c'est ici que ça ce complique pour moi:
je pense qu'il y a 3 modes pour les 3 poles suivant:
p1 = +i ou -i p2= 0 et p3=-1
pour le pole en 0 je trouve:
10
pour le pole en -1 je trouve:
-5e-t
pour le pole complexe je ne sais pas comment faire...
D'habitude je remplace le pole dans la fonction de tranfert et je rajoute l'expontentiel... mais la il n'y a pas de partie réelle
Merci de votre aide
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Sdec25
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par Sdec25 » 29 Juil 2006, 17:20
Salut
Qu'est-ce que tu appelles les modes ?
Pour la première question j'aurais fait comme ça :
donc
On décompose en éléments simples :
et on applique la transformée inverse pour trouver la réponse indicielle
Pour la deuxième je trouve bien
Ensuite on décompose en éléments simples :
(ou bien
pour trouver C )
Finalement on trouve
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niko61
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par niko61 » 29 Juil 2006, 17:54
merci pour la réponse
oui tu a raison pour la premiere jme suis trompé j'ai un pris une reponse impulsionnelle
(les modes correspondent à chaque poles)
Je trouve les deux premiers termes comme toi mais je n'utilise pas la meme méthode
il faut que j'utilise la méthode des résidus
voici comme je fais le début:
http://krapo61.ifrance.com/residus.JPGmerci
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Sdec25
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par Sdec25 » 29 Juil 2006, 18:18
J'ai vu ta méthode, en fait c'est la même méthode que celle utilisée pour trouver les coeff A, B, C et D de la décomposition en éléments simple.
Pour le 3ème mode je ne sais pas si ta méthode marche car on a une somme de sin et cos (Cp + D).
Multiplie par (1+p²) et prends p=i, ce qui nous permet de trouver les coefficients C et D de la décomposition.
Je ne vois pas comment faire autrement désolé.
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niko61
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par niko61 » 29 Juil 2006, 18:29
ok merci de ton aide mais je ne suis vraiment pas a l'aise en maths :(
je ne vois pas comment tu trouve le -5sin(t) - 5cos(t)
quand je multiplie par (p²+1) et que je remplace p par -i
je trouve Ci+D = 10/ i-1 mais je ne retrouve pas la forme des sinus.
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Sdec25
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par Sdec25 » 29 Juil 2006, 19:16
Pour trouver ça j'ai utilisé Maxima rien de plus simple :ptdr:
Normalement on trouve
La sortie est égale à
et
,
donc
et
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niko61
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par niko61 » 29 Juil 2006, 21:59
merci pour l'aide
je vais faire cette méthode si je ne trouve pas autre chose
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niko61
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par niko61 » 29 Juil 2006, 22:11
si quelqu'un sait le faire avec l'autre méthode n'hésitez pas moi je cherche de mon coté
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