Bonjour,je bloque sur cet exercice:
Caractériser l'ensemble des matrices A de Mn(C) telles que pour tout i de [1..n] :
Tr(A^i)=n
Merci...
Posted by: Rain'
<=> Sp(A) = {1} non ?
Posted by: fahr451
bonjour
considérer
les valeurs propres de A distinctes (en supposant qu 'il en existe une distincte de 1)
1 , a1,...,ap de multiplicité n0,...,np éventuellement n0 = 0
n1,...,np entiers strictement positifs
on trigonalise A
on écrit les relations pour i = 1 ,...,p
on obtient un système en n0,...,np
on écrit le même système lorsque 1,a1,...,ap valent tous 1 on soustrait membre à membre
reste un système linéaire en n1,...,np de second membre nul
on regarde le déterminant de ce système f(a1,...,ap)
qui dépend de a1,...,ap
on le considère comme une fonction de x= ap : P(x)
c'est un polynôme en x de degré au plus p qui adme clairement a1,...,ap-1 comme racine (colonnes égales) et qui admet également x= 1 comme racine
le coeff de x^p est exactement f(a1,...,ap-1)
donc P(x) = (x-1)(x-a1)...(x-a(p-1)f(a1,...,a(p-1) )
donc P clairemment ne s'annule pas pour les ai distincts et différents de 1
le système est de cramer l'unique sol est n1= ...= np = 0
ce qui contredit l'exisence de vp diférente de 1
conclusion
A admet pour unique vp 1
la réciproque est vraie.
Posted by: Sylar
on trigonalise A
on écrit les relations pour i = 1 ,...,p ???
C'est quoi comme relations?
Et y a un truc que je comprends pas ,comment sais-tu que la valeur propre est 1.
En effet la trace c'est la somme des valeurs propres mais ici j'aurai tendance a dire :
Sp(A^i)={1} et pas Sp{A}............
Et je comprend pas c'est quoi: f(a1,...,ap) ??
Posted by: fahr451
évite les ???? s'il te plait ça me choque...
les relations sont tr(A^i) = n
ça me semblait clair
je MONTRE que 1 est la seule vp relis bien tout
f(a1,...,ap) est le déterminant du système linéaire obtenu après soustraction
la j ième colonne du déterminant est : (aj-1, aj^2 -1,...,aj^p - 1 )
Posted by: Sylar
Désolé j'arrive pas a comprendre la raisonnement.
j'ai pas compris pourquoi:le coeff de x^p est exactement f(a1,...,ap-1)......
Posted by: Rain'
Développe le det suivant la dernière colonne. Le seul terme qui peut aller avec X^p c'est f(a1,...,a(p-1))
Posted by: fahr451
quand on développe formellement ce déterminant par rapport à la dernière colonne
x^p est uniquement dans le coeff en bas à droite ;le mineur associé est le déterminant de la matrice p-1,p-1 en rayant la dernière ligne et la dernière colonne ce déterminant est exactement le même
déterminant qu'au départ mais de taille p-1 et avec a1,...,ap-1 uniquement
Posted by: Sylar
Ok merci je vais esayer de faire le calcul.
Posted by: Sylar
P(x) = (x-1)(x-a1)...(x-a(p-1)f(a1,...,a(p-1) )
donc P clairemment ne s'annule pas pour les ai distincts et différents de 1
J'ai pas compris ca.Pour moi il s'annule pour:x=1,x=a1,.....x=a(p-1)..........
Posted by: Rain'
C'est exact , or x = ap et ap est différent des racines de P(x) donc P(ap) ne s'annulle pas , donc le déterminant est non nul donc le système est de Cramer.
Posted by: Sylar
Et pourquoi x = ap ?
Posted by: Rain'
Relis la démo de fahr.
Posted by: Sylar
Décidemment j'y comprend rien a cette démonstration....
Posted by: kazeriahm
si tu ne coprends pas sylar écris tous à la main en développant les étapes sur lesquels fahr va vite
Posted by: Sylar
Ok je vais essayer;mais c'est l'histoire du polynome P qui me bloque.
Posted by: Rain'
Tu as un système p*p d'inconnues n1.....np. Tu veux montrer que (n1,...,np) = (0,...,0).
Pour cela tu écris la matrice A correspondante de taille p*p de terme principal aij = aj^i-1
tu prends le vecteur N tel que tN = (n1,....,np)
le système est équivalent à AN = 0
et tu veux montrer que N = 0 , il te suffit de montrer qu'il s'agit d'un système de Cramer c'est à dire que A est inversible.
Pour cela tu calcules Det(A) or comme c'est difficile, tu peux remplacer ap par x, appeler Ax la matrice correspondante. Et tu calcules det(Ax) qui est de la forme d'un polynome en x qu'on appelle P(x).
Par définition Det(A) = P(ap).
Or les racines de P sont 1,a1....,ap-1 et ap est différent de chacune de ses racines, donc P(ap) <> 0
donc det(A) est non nul donc A est inversible donc N = 0 et c'est ce qu'on voulait.
Posted by: Sylar
Merci pour la réponse mais je comprends pas d'ou vient ce système:
On a:
1 , a1,...,ap de multiplicité n0,...,np éventuellement n0 = 0
n1,...,np entiers strictement positifs
on trigonalise A
Tr( A^i)=n <=> 1+a1^i+..................+ap^i=n
Je vois pas de système .......
Posted by: fahr451
l'idée est de prendre les valeurs propres DISTINCTES de multiplicité n0 ,...,np
on a donc
n0 + n1 a1^i +...+np ap^i = n pour i = 1,...,p
on a aussi n0+...+np = n
on soustrait on obtient
n1(a1^i -1) +...+ np(ap^i -1) = 0 i = 1,...,p
Posted by: Sylar
Ok merci fahr451 ,j'ai presque tout compris a présent.
Un dernier résultat;pourquoi a-t-on:n0+...+np = n ?
ou n0,..............,np sont les multiplicités
merci...
Posted by: fahr451
ce sont les multiplicités (algébriques) comme racines du polynôme caractéristique ;ce polynôme est de degré n, la somme des multiplicités vaut donc n
rem : a priori n0 peut être nul si 1 n'est pas racine
si tu préféres après trigonalisation n0 est le nbre de fois où 1 apparait sur la diagonale n1 le nbre de fois pour a1 etc
au total il y a n termes sur la diagonale
Posted by: Sylar
Ah oui bigre!Merci beaucoup fahr.
Posted by: Sylar
Vu que j'avais pas tout compris je fais un débrousaillage:
Donc ,on a le système:n1(a1^i -1) +...+ np(ap^i -1) = 0 i = 1,...,p
a p équations.
Ensuite ,que fait-on exactement?
merci....
Posted by: fahr451
on montre que le déterminant est non nul
c'est un polynôme en x = ap de degré au plus p etcetc(j'ai déjà tout fait)
Posted by: Sylar
Je comprends pas la méthode pour calculer le déterminant de la matrice M ou :ap=x et :
M=
a1-1 ....................x-1
.
.
.
a1^p-1.................x^p-1
L'histoire du polynome P(x) me déroute........
merci.
Posted by: Sylar
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment calculer ce déterminant ?
Posted by: fahr451
1) regarde sur un site déterminant de VAN DER MONDE
2) ma démo est correcte mais finalement maladroite
3) une fois le 1) maitrisé et seulement une fois maitrisé écris le systéme initial (sans soustraire) pour i = 0,...,p
en n0,...,np c'est un système de van der monde
donc le déterminant est non nul
4)il y a unique solution or n0 = n , n1=...=np = 0 est solution donc c'est la seule
ce qui contredit l'existence de vp autre que 1
5) 1 est donc l'unique vp
5) réciproque vraie
je peux pas plus
Posted by: Sylar
Ah ok merci .
Posted by: Sylar
M=
a1-1 ....................x-1
.
.
.
a1^p-1.................x^p-1
Le déterminant de cette matrice ne ressemble pas au déterminant de Vandermonde.
Deja il n'y a pas une ligne de 1 ;et le -1 gene.....
