Des tours de 9 et de 3

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Posted by: Imod

Bonsoir ,

les tours de 2004 m'effraient un peu , voyons avec des 9 et des 3 .

Un empilement de puissances d'un même nombre s'appelle une tour que l'on note : 4^{(0)}=4 , 4^{(1)}=4^4 , 4^{(2)}=4^{4^4} , ...

Question : Quel est le plus petit entier n tel que : 9^{(100)} < 3^{(n)} ?

Bon courage !

Imod


Posted by: ~oa~

J'imagine Que ça serai 201


Posted by: raito123

Non je ne cois pas DSL je connais pas la réponse mais je suis sur que ce n'est pas 201


Posted by: ThSQ

Peut-être que ~oa~ confond 3^{(n)} et 3^n


Posted by: lapras

Il devrait y avoir une astuce pour se rammener à des '3' puisque 9 = 3²


Posted by: bruce.ml

9^{(n)} = 3^{2.3^{2.3^{...}}} mais je ne sais pas si on a beaucoup avancé en ayant dit ça


Posted by: raito123

bon la réponse c'est n=101 ?


Posted by: Imod

Citation:
Posté par raito123
bon la réponse c'est n=101 ?

Pourquoi ?

Imod


Posted by: raito123

Celle là n'est pas encore résolu?


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par ThSQ
Peut-être que ~oa~ confond 3^{(n)} et 3^n


\<br /> \begin{array}{l}<br /> {\rm{On a }} \\ <br /> {\rm{9}}^{\left( {100} \right)} \prec 3^{\left( n \right)} \Rightarrow \ln \left( {{\rm{9}}^{\left( {100} \right)} } \right) \prec \ln \left( {3^{\left( n \right)} } \right) \Rightarrow 9^{100} \ln \left( 9 \right) \prec 3^n \ln \left( 3 \right) \Rightarrow 2 \times 9^{100} \ln \left( 3 \right) \prec 3^n \ln \left( 3 \right) \Rightarrow 2 \times 9^{100} \prec 3^n \Rightarrow \ln \left( {2 \times 9^{100} } \right) \prec \ln \left( {3^n } \right) \\ <br /> \ln 2 + 100\ln 9 \prec n\ln \left( 3 \right) \Rightarrow n \succ \frac{{\ln 2 + 100\ln 9}}{{\ln \left( 3 \right)}}.{\rm{ }} \\ <br /> {\rm{d'ou la plus petit valeurs de n pour que 9}}^{\left( {100} \right)} \prec 3^{\left( n \right)} {\rm{ c'est }}n = \left[ {{\rm{ }}\frac{{\ln 2 + 100\ln 9}}{{\ln \left( 3 \right)}}} \right] + 1 = 201 \\ <br /> A + \left( {sauf{\rm{ }}erreur{\rm{ }}bien{\rm{ }}entendu} \right) \\ <br /> \end{array}<br /> \


Posted by: ThSQ

Je ne crois pas que c'est juste ~oa~.


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par ThSQ
Je ne crois pas que c'est juste ~oa~.

Ta démonstration ?!
Pour un éléve du Terminal d'un moyen niveau j'explique:
http://i24.servimg.com/u/f24/11/19/64/85/tourss11.gif


Posted by: raito123

J'ai bien peur que le passage de la deuxiéme implication à la troisiéme soit faux!
et comme t'as dit ThSQ tu confond entre 3^n et 3^{(n)}


Posted by: aviateurpilot

soit la suite (U_n)_{n\in\mathbb{N}} tel que U_n=min\{k\in\mathbb{N}|\ 9^{(n)}&lt;3^{(k)}\}
on a 9^{(n+1)}=3^{2.9^{(n)}&lt;3^{2.3^{(U_n)}}&lt;3^{(U_n+2)}
et 9^{(n+1)}=3^{2.9^{(n)}&gt;3^{2.3^{(U_n-1)}}&gt;3^{(U_n+2)}
donc U_{n+1}=U_n+2\ ou\ +1
donc U_1+99=101\le U_{100}\le U_1+2\times 99=200


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par raito123
J'ai bien peur que le passage de la deuxiéme implication à la troisiéme soit faux!
et comme t'as dit ThSQ tu confond entre 3^n et 3^{(n)}

Dommage Non !
Maintenant c'est claire ? revois ma méthode bien expliqué!


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par ~oa~
Dommage Non !
Maintenant c'est claire ? revois ma méthode bien expliqué!

voila la faute que t'a fait ~oa~.
ln(3^{3^{3}})\neq 3ln(3^{3})
ln(3^{3^{3}})=3^3ln(3)
en genarale ln(3^{(n)})=3^{(n-1)}ln(3)\neq 3ln(3^{(n-1)}) et donc \neq 3^nln(3)


Posted by: ~oa~

Citation:
Posté par aviateurpilot
voila la faute que t'a fait ~oa~.
ln(3^{3^{3}})\neq 3ln(3^{3})
ln(3^{3^{3}})=3^3ln(3)
en genarale ln(3^{(n)})=3^{(n-1)}ln(3)\neq 3ln(3^{(n-1)}) et donc \neq 3^nln(3)


Re
Mais Je Vois que ce que tu as dit c'est ce que j'ai déjà ecris! je vois pas de quoi tu parle? (quelle ligne?)
Voyant ça : on a ln((5^5)^5)=5ln(5^5)=5*5ln5 =5²ln5 !!? c'est ce que j'ai fais?!


Posted by: aviateurpilot

ln((5^5)^5)=5ln(5^5)=5*5ln5 =5²ln5

on a pas (5^5)^5.
on a 5^(5^5)


Posted by: raito123

Bonne idée omar mais (3^3)^3 est différent de 3^{3^3}


Posted by: ~oa~

ah là vous avez raison ! (aviateur pilote et Raito) comme tu as dit raito et thsq j'ai confondus !!
l'essentiel c'est l'idée que j'essaierai de continuer avec.
A+


Posted by: aviateurpilot

mainteneat retour a ma solution incomplete
Citation:
Posté par aviateurpilot
demostration qui n'est pas complete,

soit la suite (U_n)_{n\in\mathbb{N}} tel que U_n=min\{k\in\mathbb{N}|\ 9^{(n)}&lt;3^{(k)}\}
on a 9^{(n+1)}=3^{2.9^{(n)}&lt;3^{2.3^{(U_n)}}&lt;3^{(U_n+2)}
et 9^{(n+1)}=3^{2.9^{(n)}&gt;3^{2.3^{(U_n-1)}}&gt;3^{(U_n+2)}
donc U_{n+1}=U_n+2\ ou\ +1
donc U_1+99=101\le U_{100}\le U_1+2\times 99=200



Posted by: ~oa~

http://i24.servimg.com/u/f24/11/19/64/85/ce5511.gif


Posted by: aviateurpilot

de tt facon voila ce qui est sure

soit la suite (U_n)_{n\in\mathbb{N}} tel que U_n=min\{k\in\mathbb{N}|\ 9^{(n)}&lt;3^{(k)}\}
on a 9^{(n+1)}=3^{2.9^{(n)}&lt;3^{2.3^{(U_n)}}&lt;3^{(U_n+2)}
et 9^{(n+1)}=3^{2.9^{(n)}&gt;3^{2.3^{(U_n-1)}}&gt;3^{(U_n+2)}
donc U_{n+1}=U_n+2\ ou\ +1
donc U_1+99=101\le U_{100}\le U_1+2\times 99=200










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