Tour oscillations

[charchour]

Bonjour à tous, j'ai un big exo de 15 questions que j'ai fait petit à petit, mais j'ai de grosses difficultés, alors je vous laisse voir ce que j'ai fait en espérant recevoir un petit coup de pouce pour pouvoir éclairer ma lanterne.

Énoncé de l'exercice: lien du devoir en entier http://issuu.com/avnerh/docs/devoir2_lp111cned2012_13

Pour la figure n'importe quel schéma de pendule avec une masse au bout par exemple sur wiki.
La figure 1.b présente le dispositif destiné à réduire les oscillations de la tour. Celui-ci est constitué d’une sphère d’acier, dont la masse m vaut 600 tonnes, suspendue par des câbles de longueur l = 10m. L’ensemble peut être traité comme un pendule pesant simple, repéré par son angle  par rapport à un axe vertical (figure 2, feuille jointe) Comme je ne peux pas copier le dessin je le décris:
en gros c'est un cable ayant une masse m au bout et d'axe de rotation(l'origine du cable est attaché en haut de l'axe(0z) z dirigé de bas en haut et perpendiculaire à l'axe Ox en bas. on a un axe z verticale perpendiculaire à un axe x horizontale leur intersection est 0. On a un câble de longueur l, qui est un trait diagonale partant de z et se prolongeant jusqu'à l'axe des x et se terminant par la masse M. Là un dessin de cercle pour montrer la trajectoire circulaire de la boule de la masse m suspendu par la cable, d'axe de rotation z. On a le vecteur Ur de même direction que le cable et se dirigeant vers le bas (axe x) et l'axe Uthêta perpendiculaire à Ur se dirigeant vers la droite.. pour décrire c'est u
Indication : Dans tout ce problème, l’angle  est petit. On pourra utiliser les approximations suivantes.
sin thêta environ égale à thêta    et cos thêta environ   1 - thêta^2/2

Attention, dans ces relations  est exprimé en radian.
Oscillations libres
Dans cette partie, les frottements ne sont pas pris en compte.
1. Donner l’ensemble des forces qui s’exercent sur la sphère. Sur la figure 2 (description au dessus), représenter schématiquement ces forces et a le vecteur accélération de la sphère.

1. on a le poids partant de la masse et de même direction que z vers le bas. et La tension T du cable aayant la même direction que le cable et se dirigeant vers le haut. L'accélération a de la sphère est une diagonale dirigée vers le bas, c'est la résultante des vecteurs P et T.

2. Justifier que l’énergie mécanique Em du pendule pesant est conservée au cours de son mouvement.

2.La tension T du cable est à chaque instant perpendiculaire à la trajectoire circulaire de la masse M, donc le travail est nul, donc l'énergie mécanique du pendule se conserve.

3. Donner l’énergie potentielle Ep du pendule dans le champ de pesanteur en fonction de l’altitude
z. On prendra Ep = 0 à z = 0 (voir figure 2).

3) Ep= mgz

4. En déduire l’expression de Ep(thêta) en fonction de l’angle thêta .

4) Ep(thêta)= mgl( 1-cos(thêta))
5. Montrer que si thêta  est petit, l’énergie potentielle s’écrit sous la forme
Ep(thêta) = A *thêta^2;où A est une constante à déterminer et dont on vérifiera que la valeur est 3
* 10^7 J
rad/s^2.
Jusqu’à la fin de la partie II, on utilisera cette expression de l’énergie potentielle.
Celle-ci est représentée sur la figure 3, feuille jointe.
À la suite d’une bourrasque, au bout d’un certain temps (après un régime transitoire qui ne
sera pas étudié dans ce problème), le dispositif se trouve dans l’état suivant : la tour est immobile(et le restera), mais la sphère est éloignée de sa position d’équilibre d’un déplacement horizontal xi = 30 cm, l’angle  correspondant ayant une valeur i. À cet instant, t = 0, la vitesse de la sphère est nulle.

5) Ep(thêta)= mgl (1- cos(thêta)= mgl (1- (1- thêta^2/2))= mgl thêta^2/2

on a donc A= mgl/2 =3 * 10^7

6. Vérifier que thêta i = 3
* 10^2 rad.
thêta= racine (Ep(thêta)/ A)= racine(mgz/mgl/2)= racine(2z/l)
bref j'ai pas la valeur de z juste le xi= 30 cm donc je ne sais pas quoi faire.

7. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la sphère dans le champ de pesanteur à t = 0.
Faire l’application numérique.

7) Em= Ec+Ep= 1/2 ml^2thêta point^2+ mgl( 1-cos thêta)= 0+ 6* 10^7- cos(3*10^(-2)=5.9* 10^7

8. Décrire le mouvement de la sphère. En particulier, préciser à quelles positions sa vitesse est nulle.

8) le mouvement de la sphère est une parabole, trajectoire circulaire. Faut donc trouver les extrémums de sa parabole à partir de l'équation de sa trajectoire.
P+T= ma
-mgcosthêta+ T= m v^2/l
ouais mais je n'ai pas la valeur de t ah je ne sais pas quoi faire!



9. Quelle est l’énergie cinétique Ec( thêta = 0) de la sphère quand elle passe à la position thêta  = 0 ? En déduire la vitesse correspondante v(thêta = 0) et faire l’application numérique.

j'ai trouvé Ec(thêta)= 1/2 ml^2 thêta point^2
donc j'ai trouvé 0 pour tout vu que v= lthêtapoint donc si thêta= 0 tout est égale à 0.

Où suis-je bloqué: dans pratiquement toutes les questions, les vecteurs Ur et Uo me posent pproblème, je prends souvent confusion dans les mgcosthêta, ou mglcosthêta, ou mgl ( 1-cos thêta, plus les équivalents avec les z, les x, et déterminer des équations avec les accélérations, les maximums, les vitesses et tout ça...

Énoncé de l'exercice:Des amortisseurs lient la sphère à la structure de la tour. Ils introduisent une force de frottement de type visqueux proportionnelle à la vitesse vecteur v de la sphère, # (le dièse est pour montrer qu'il y a une flèche vectorielle) 
Fvisc = - v vecteur v , qui permet l’amortissement des oscillations de la sphère.
10. Représenter schématiquement Fvisc sur la figure 2 en supposant que  est en train de croître.

sur le schéma qui ressemble à celui d'une pendule avec le fil qui balance et au bout la masse, j'ai dessiné le vecteur Fvisc de sorte qu'il soit horizontal et perpendiculaire au poids, point d'application la masse, sens vers la droite pour montrer que ça ralentit et s'oppose l'accélération quand la masse descend circulairement, car c'est la chute de l'objet sans vitesse initiale qui fait son accélération.

11. Donner dans la base ( ur;  uthêta) l’expression de la vitesse #v de la sphère et de son accélération #a
en fonction des quantités l, dthêta/dt, d^2thêta/dt^2 . Dans cette même base, donner les expressions du poids et de la force de frottement.

11) là j'ai trouvé cette question super dure. Donc je ne suis pas du tout sur de mes réponses:
v= ldthêta/dt
a= -l (dthêta/dt)^2 ur+ ld^2thêta/dt^2 ethêta
Fvisc= -v ldthêta/dt ethêta
P= mgsinthêta ur + mgcosthêta uthêta


12. En projetant le principe fondamental de la dynamique sur l’axe porté par u thêta, montrer que thêta
obéit à une équation différentielle de la même forme que celle d’un oscillateur harmonique amorti
(on ne cherchera pas à résoudre cette équation). On se place toujours dans l’approximation où thêta
 est petit.

12)ma= P + F sur Uthêta
d'où
mld^2thêta/dt^2= -mgsin thêta + Fvisc Uthêta
d^2thêta/dt^2 +v dthêta/mdt+ g/l sin(thêta) =0


13. À t = 0, la sphère est en thêta = thêta i = 3 *
10^2 rad, sans vitesse initiale. Après un aller-retour,
la sphère ne rebrousse chemin qu’en thêta = thêta i/2. Quel a été le travail WAR( Fvisc) de la force de frottement sur cet aller-retour ?

13)

War(Fvisc)= Fvisc * AB
W(Fvisc)=-mgL(1-cos(thêtai/2)
W(Fvisc)= - 6750 N


14. Au bout d’un temps suffisamment long, la sphère s’arrête à sa position d’équilibre. Quel aura
alors été le travail total Wtotal(Fvisc) de la force de frottement ?

14) W(Fvisc)= -mgL (1-cos(thêta))
W(Fvisc)= -2.7* 10^4



15. Représenter qualitativement sur la figure 3 l’évolution de Em(thêta) sur l’ensemble du mouvement
de la sphère.
Pour résumer, le fonctionnement du dispositif est le suivant : les oscillations de la tour mettent
en mouvement le pendule, l’énergie mécanique de la tour est ainsi transmise au pendule. Cette
énergie est au final dissipée par les frottements fluides dus aux amortisseurs.


15)Faut-il tracer une ligne horizontal qui coupe la parabole pour désigner Em, et à quelle hauteur faudrait-il tracer cette droite horizontale?
Ou faut-il en tracer 2 une pour Ec et une autre pour Ep?
Em est représenté par une parabole le maxi est vers le 0 c'est un peu comme la coupôle, c'est arc bouté.
Où suis-je bloqué: partout

Mes questions: j'ai du mal à faire en fonction de Ur et Uthêta, je repère le cosO et sin O avec la longueur du fil mais comme le repère est en dehors et n'a pas son origine en 0 bref, je suis un peu perdu.

Merci d'avoir lu