voici le problème :
soit A un ensemble et (X,T) un espace topologique.considérons l'ensemble des applications de A dans X que l'on note par F(A,X). pour f dans F(A,X) , a dans A et v appartenant à V(f(a)) , on pose
Wv,a(f)={g appartenant F(A,X) g(a) appartenant à V}
1/montrer que l'ensemble des Wv,a (f forme une base d'ouverts d'une topologie appelée topologie de la convergence simple sur F(A,X)
2/montrer qu'une suite (fn) de fonction de F(A,X) converge vers f si et seulement si (fn) converge simplement vers f.
3/considérons l'espace topologique produit P=produit des Xa ou chaque Xa=X montrer que P est homéomorphe à F(A,X).
4/on munit A de la topologie discrète. montrer que la topologie de la convergence simple est la moin fine des topologie sur F(A,X) qui rendent continue l'application suivante
F(A,X)*A---->X
(f,a) I---->f(a)
vive la topologie lol :p merci d'avance pour tous
Posted by: tize
Pour la 1), il y a deux axiomes à vérifier :
(i) L'ensemble des Wv,a recouvre F(A,X)
(ii) Dans une intersection non vide de deux éléments de Wv,a, on peut inclure un élément de Wv,a.