Topologie

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Posted by: newkroy

bonjour à tous :) .....voici le probleme

soit D={Bo(a,r) , a appartient à A , r appartient à Q+*} (Bo boule ouverte)

montrer que D est une base.

ou d'une autre manière :

soit x appartient à X , soit V appartient à v(x)
montrer qu'il éxiste a appartient à A , r appartient à Q+*
tel que Bo(a,r) inclu dans V .

bon courage :) , et merci à tous :)

ps : je ne suis pas un spécialiste des problèmes tordus non plus :p


Posted by: newkroy

aucune réponses :??


Posted by: nuage

Salut,
Soit x\in{\mathbb{R}} il existe une (des) suite (r_n) croissante et à éléments rationnels tel que \lim_{n \rightarrow \infty} {r_n}= x
On a alors B_o(a,x)=\bigcup_{n\in {\mathbb{N}}} B_o(a,r_n)


Posted by: newkroy

sa m'aide pas du tous :/.......un peu plus de détails sa serais sympathique :)


Posted by: fahr451

bonjour

pour "préciser"

v est dans v(x) donc v contient une boule de centre x de rayon a>0
il existe une suite de rationnels r( n) tendant vers a/2 donc il existe un n0

tel que 0< r(n0) <a d'où v contient la boule B(x,r(n0) )


Posted by: cyberchand

Explicite tes notations. C'est quoi, X et A?
Je suppose que X doit être un espace métrique, et A une partie dense de X (peut-être dénombrable). Il faut montrer que D={Bo(a,r) , a appartient à A , r appartient à Q+*} est une base de X.
Soit donc x dans X, V un voisinage de x. Il faut montrer qu'il y a une boule Bo(a,r) dedans.
D'abord, il existe eps>0 tel que B(x, eps) soit dans V. Ensuite, il existe a dans A tel que d(x,a) < eps/2 (par densité de A). Enfin, il existe r rationnel qui est < eps/2. Alors tu peux montrer que B(a, eps/2) est encore dans V, ce qui permet de conclure.

Enfin tout ça c'est si A est dense dans X. Sinon, sans plus de détails sur les notations, on ne peut rien dire de plus !

Note: tjs dans le cas où j'ai bien interprété les notations, cela n'a rien d'un problème "tordu". Cet exercice démontre que "tout espace métrique séparable admet une base dénombrable". Autrement dit, dès qu'on a un espace métrique avec une suite dense, il existe une base topologique de l'espace qui est dénombrable. Et ça, c'est très pratique. :)


Posted by: fahr451

ah ben oui j 'avais pas bien lu a est dans A (inconnu) et non dans X


Posted by: newkroy

merci infiniment , désolé d'avoir tardé a repondre , j'avais pas vraiment le temps de me connécté , sinon pour les notations , hé bien vous aviez bien raison X est bien un éspace métrique et A est bien dense dans X
et c'est vrai que sa n'a rien de tordus ,,,,,encore une fois merci :)










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