Soit A dans Mn(C), on demande de montrer que la suite (A^p) est bornée ssi
Sp(A) inclus dans B'(0,1) et si abs(a)=1, dim(Ea)=o(a), a valeur propre de A)
sens direct d'abord: A est trigonalisable. On est en dim finie, il suffit donc
de bien choisir une norme, de preference triple sur Mn(C), qui fasse intervenir
les elements de la diagonale....
cet exo me rappelle le theoreme de Rietz, est ce que ça a un rapport?
Posted by: FDH
"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news: 20040106132642.10976.00001386@mb-m24.aol.com...
> Bonjour,
>
> Soit A dans Mn(C), on demande de montrer que la suite (A^p) est bornée ssi
>
> Sp(A) inclus dans B'(0,1) et si abs(a)=1, dim(Ea)=o(a), a valeur propre de
A)
>
> sens direct d'abord: A est trigonalisable. On est en dim finie, il suffit
donc
> de bien choisir une norme, de preference triple sur Mn(C), qui fasse
intervenir
> les elements de la diagonale....
>
> cet exo me rappelle le theoreme de Rietz, est ce que ça a un rapport?
Si tu parles de l'équivalence entre compacité de Bf(0,1) et dimension finie,
je ne vois franchement pas le rapport
Pour ton problème : A est semblable à une matrice diagonale par blocs, las
blocs étant de la forme M=xI+N, avec N nilpotente (x est une valeur propre
de A)
Il est clair que (A^n) est bornée ssi pour tous les blocs M, (M^n) est
bornée
D'après la formule du binôme, M^n=x^nI+C(n,1)x^(n-1)N+C(n,2)x^(n-2)N^2+...
(somme finie car N est nilpotente)
- si |x|<1, alors M^n tend vers 0 car les x^n l'emportent sur les C(n,j) à j
fixé (et il y a un nombre fini de termes)
- si |x|=1 et N<>0, alors M^n est équivalent au dernier terme de la somme :
M^n ~ C(n,k-1)x^(n-k+1)N^(k-1), avec k : indice de nilpotence de N, donc
||M^n|| tend vers +inf
- si |x|=1 et N=0, alors M^n=x^n.I, qui est bornée
Conclusion : M^n est bornée ssi |x|<1 ou (|x|=1 et N=0)