Topologie : espace produit complet

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Posted by: Clise

Bonjour,

J'essaye de démontrer que tout produit fini d'espaces complets est complet, mais je ne sais comment procéder.

J'ai commencer par prendre des suites de cauchy dans chaque espace formant le produit et donc comme chaque ensemble est complet chaque suites converges dans l'espace de départ.

Je ne sais comment passer au produit ? La distance du produit est définit comme le sup des distances, mais je ne vois pas comment cela peut m'aider dans mon cas.

Puis je dire que xn est une suite de cauchy du produit alors il existe un Xi (appartenant au produit) tel que xn est inclus dans Xi ???

Merci de vos réponses


Posted by: Nightmare

Salut :)

Considère une suite de Cauchy dans ton produit 3$\rm \Bigprod_{i=1}^{N} E_{i}, et on note 3$\rm x_{n}=(x_{1,n},...,x_{N},n)

On a pour tout k dans {1,...,N} et pour tous p et q naturels :
3$\rm d(x_{k,p},x_{k,q})\le Max_{1\le i\le N} ||u_{i,p}-u_{i,q}||_{E_{i}}

Par complétude des (Ei) on a alors clairement 3$\rm x_{n}\longrightarrow_{n\infty} (\lim_{n\infty} x_{1,n},\lim_{n\infty} x_{2,n},...,\lim_{n\infty} x_{N,n})




Posted by: Clise

ok merci pour cette démo










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