Topologie - Ensembles ouverts ET fermés

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Posted by: Cestmoikmille

Amis, bonsoir

Je bosse en ce moment mes rattrapages de L3, en particulier cette *ù&^*$%£¤# topologie, et mon poly est (ô, comble de bonheur !) bourré de fautes .

L'une d'elles (mais j'en suis pas sûre et je voudrais confirmation) est :
Citation:
Dans un espace topologique E, les seuls ensembles ouverts et fermés à la fois sont E lui même et l'ensemble vide.


Il me semble que c'est faux, sauf pour les espaces connexes !!

Sauriez vous m'éclairer ?
Merci !


Posted by: yos

Citation:
Posté par Cestmoikmille
Il me semble que c'est faux, sauf pour les espaces connexes !!

Oui c'est bien ça.


Posted by: tize

Oui bah il semble bien que c'est faux...et on trouve des contre exemple facilement...
[edit] Salut Yos


Posted by: Cestmoikmille

merci bcp pour vos réponses rapides !!

(je n'étais pas certaine, d'une part parce que c'était quand même écrit noir sur blanc dans mon poly de cours, d'autre part parce que la topologie, ça reste très très abstrait pour moi)

est-ce qu'on peut même se permettre de dire :

E est connexe ssi les seuls sous-ensembles ouverts et fermés à la fois sont E lui même et l'ensemble vide

?


Posted by: tize

Non, on ne peut pas, ça n'est pas la définition...d'ailleurs tu peux prendre un espace quelconque X mais non vide et le munir de sa topologie discrète P(X), toute partie de X est alors ouverte et fermée à la fois...


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par tize
Non, on ne peut pas, ça n'est pas la définition...

C'est une définition possible et c'est équivalent à « X n'est pas réunion de deux ouverts disjoints ».
Citation:
d'ailleurs tu peux prendre un espace quelconque X mais non vide et le munir de sa topologie discrète P(X), toute partie de X est alors ouverte et fermée à la fois...

X n'est donc pas connexe s'il contient 2 éléments ou plus.


Posted by: Cestmoikmille

pas si c'est un connexe, il me semble. Je prends un exemple (qui ne démontre rien, je sais, mais quand même) :
Dans R (qui est connexe) muni de la topologie discrete toutes les parties sont soit ouvertes soit fermées on peut pas avoir une partie ouverte ET fermée ?

Citation:
Non, on ne peut pas, ça n'est pas la définition...

les relations d'équivalence ne sont pas réservées qu'aux définitions, tout de même !!

edit : oui merci abcd22 !!


Posted by: tize

Bonjour abcd22,
je ne pense pas que "Cestmoikmille" pensait à des cas très particuliers mais plutôt au cas général, la question était bien :"E est connexe ssi les seuls sous-ensembles ouverts et fermés à la fois sont E lui même et l'ensemble vide".
Ceci étant c'est vrai que j'aurais mieux fait de préciser X a plus de deux éléments plutôt que X non vide tout court...car dans le cas très spécifique X={a}, en effet la définition coïncide avec ce que voulait dire "Cestmoikmille".


Posted by: tize

Citation:
Posté par Cestmoikmille
pas si c'est un connexe, il me semble. Je prends un exemple (qui ne démontre rien, je sais, mais quand même) :
Dans R (qui est connexe) muni de la topologie discrete

Attention ! R muni de la topologie discrète n'est pas connexe ! R est connexe avec sa topologie usuelle (celle induite par la valeur absolue)

Citation:
Posté par Cestmoikmille
les relations d'équivalence ne sont pas réservées qu'aux définitions, tout de même !!

Non, mais si tu donnes une autre définition, il vaut mieux qu'elle soit équivalente à la première sinon on finira par avoir chacun sa définition différente et cela ne voudra plus rien dire...
[EDIT] Pourquoi aurais-tu utilisé le terme SSI sinon...


Posted by: Cestmoikmille

Citation:
Posté par tize
je ne pense pas que "Cestmoikmille" pensait à des cas très particuliers mais plutôt au cas général, la question était bien :"E est connexe ssi les seuls sous-ensembles ouverts et fermés à la fois sont E lui même et l'ensemble vide".
Ceci étant c'est vrai que j'aurais mieux fait de préciser X a plus de deux éléments plutôt que X non vide tout court...car dans le cas très spécifique X={a}, en effet la définition coïncide avec ce que voulait dire "Cestmoikmille".


ca coincide donc avec X = {a} ET avec les X de plus de deux éléments puisque

Citation:
Posté par abcd22
C'est une définition possible et c'est équivalent à « X n'est pas réunion de deux ouverts disjoints ».
Citation:
d'ailleurs tu peux prendre un espace quelconque X mais non vide et le munir de sa topologie discrète P(X), toute partie de X est alors ouverte et fermée à la fois...

X n'est donc pas connexe s'il contient 2 éléments ou plus.


Cette dernière remarque d'abcd22 s'adressait à ton exemple, tize... puisque l'espace quelconque (contenant 2 elements ou plus) muni de sa topologie discrète n'est pas connexe !!

Citation:
Posté par tize
je ne pense pas que "Cestmoikmille" pensait à des cas très particuliers mais plutôt au cas général, la question était bien :"E est connexe ssi les seuls sous-ensembles ouverts et fermés à la fois sont E lui même et l'ensemble vide".

Pourquoi aurais-tu utilisé le terme SSI sinon...


c'est bien ce que je disais, ssi (ou <=>) !! (sauf que je sais pas si l'espace vide est considéré comme connexe, mais bon, hein...)


PS : je sais que mon pseudo est un peu boulet du coup vous avez le droit de m'appeler Camille. Enchantée.

PS 2 : ha oui et mon exple était foireux, je l'avoue ^^, meat coule pas !


Posted by: yos

Citation:
Posté par tize
la question était bien :"E est connexe ssi les seuls sous-ensembles ouverts et fermés à la fois sont E lui même et l'ensemble vide".

Salut Tize.
Pas tout suivi mais je confirme que cela caractérise bien les espaces connexes (pas d'autre "clopen" que E et vide). C'est d'ailleurs évident avec la définition classique (pas de partition en deux ouverts non vides).


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par Cestmoikmille
Amis, bonsoir

Je bosse en ce moment mes rattrapages de L3, en particulier cette *ù&^*$%£¤# topologie, et mon poly est (ô, comble de bonheur !) bourré de fautes .

L'une d'elles (mais j'en suis pas sûre et je voudrais confirmation) est :


Il me semble que c'est faux, sauf pour les espaces connexes !!

Sauriez vous m'éclairer ?
Merci !



Si X est muni de la topologie discrète, tout point de X est ouvert et fermé.


Posted by: tize

Bonjour,
oui...la fatigue...désolé...je ferais mieux de ne rien dire dans ces cas la...
Merci à vous










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