Tonneau de Vin : exercice sympathique.

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Posted by: richty

Voici un petit problème pour vous :

Un tonneau contient 114 litres de vin.
On retire chaque jour discrètement (pas moi!) un litre de vin et on le remplace par un litre d'eau.
A partir de quel jour boit-on plus d'eau que de vin ?


-richty-


Posted by: -Nico-

Je vois pas ou est la difficulté ^^

Au bout du 57ème jour on otera le 57ème litre de vin et donc dès le lendemain il y aura plus d'eau que de vin.


Posted by: Mathosi

Mais non! Quand on met l'eau dans le vin, elle se mélange avec lui: après le premier jour, quand on retire du vin, on retire aussi une partie de l'eau qui y a été ajoutée! On pourrait y arriver en 57 jours avec un tonneau d'huile, mais pas de vin .


Posted by: -Nico-

C'est plus des maths là ça ne m'interresse plus


Posted by: yos

Bel exercice.
Notons u_n le nombre de litres d'eau présents dans le mélange le jour n (114-u_n est alors le nombre de litres de vin).
On a u_1=0, et u_2=1.
Le jour n, un litre de mélange renferme une quantité d'eau égale à \frac{u_n}{114}. Le jour n+1, on retire cette quantité d'eau et on en rajoute 1 litre, donc u_{n+1}=u_n-\frac{u_n}{114}+1. On obtient une suite arithmético-géométrique, et on se ramène à une géométrique en posant v_n=u_n-114. On arrive ainsi à u_n=114[1-(\frac{113}{114})^{n-1}].

Un calcul de logarithme conduit à :u_n>57 \Leftrightarrow n>80.


Posted by: Mathosi

Euh non, pas 80, 79.


Posted by: Mathosi

Ah non, pardon, c'est bien 80....j'ai juste pris des indices différents en posant u0=0 et u1=1.


Posted by: richty

Exellent.. C'était en effet un peu plus compliqué que ça Nico..










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